初中数学竞赛精品标准教程附练习53：条件等式的证明

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1、初中数学竞赛精品标准教程及练习（53）条件等式的证明一、内容提要1.恒等式：如果等式中所含的字母在允许值范围内，用任何实数值代替它，等式都能成立,那么这个等式叫做恒等式.例如：①a+b=b+a，　②(a+b)2=a2+2ab+b2，　③x－=(x≠0)，　　　　④　()2=a(在实数范围内a≥0)，⑤=a(在实数范围内n为正奇数).都是恒等式.只含常数的等式是恒等式的特例.　如：3－2=1，　.2.条件等式：满足一定条件下的等式，称为条件等式.方程是条件等式，解方程就是求出能满足等式的条件(未知数的值).3.　证明条件等式就是在题设的条件下，判断恒等式.4.　证明条件等式

2、的方法，除和证明恒等式的一般方法(见第20讲)以外，要特别注意如何把已知的条件用上.　一般有以下几种：①用已知的条件直接代入(即等量代换).②变形后代入(包括把已知变形，或把结论变形).③引入参数后代入(包括换元).5.分式，根式在恒等变形时，要注意字母保持允许值的范围不变.二、例题例1.　已知：,　,　且x+y+z≠0.求证：.分析：①设法化为同分母，　②轮换式可先代入一式，其余的可用同型式③用已知直接代入.证明：∵.　根据轮换式的性质，得∴=.5例2.已知：.求证：(n是整数).分析：先把已知变形，找出a,　b,　c之间的关系.证明：由已知，去分母，得bc(a+b+c

3、)+ac(a+b+c)+ab(a+b+c)=abc.(a+b+c)(bc+ac)+ab(a+b)=0.(a+b)(b+c)(c+a)=0.∴a=－b，或b=－c，或c=－a.∵n是整数，∴2n+1是奇数.当a=－b时，左边=；　　　右边==.　　　即a=－b时，等式成立.同理可证：当b=－c和c=－a时，等式也成立.∴(n为整数).例3.　已知：ax3=by3=cz3,　.求证：.　　证明：设ax3=by3=cz3=k.(引入参数)那么ax2=,　　by2=,　cz2=.　代入左边，得：　左边=；而且a=,　b=,　c=.　代入右边，　　　得：　右边=()=.∴.5例4.

4、已知：abc≠0，方程(ac－bc)x2+(bc－ab)x+(ab－ac)=0有两个相等实根.求证：分析：要等式成立，必须且只须ac－bc=ab－ac.证明：∵方程有两个相等的实数根，∴△=0.即(bc－ab)2－4(ac－bc)(ab－ac)=0.(bc－ab+ac－ac)2+4(bc－ac)(ab－ac)=0，(添项ac－ac)［(bc－ac)－(ab－ac)］2+4(bc－ac)(ab－ac)=0.∴［(bc－ac)+(ab－ac)］2=0.∴bc－ac+ab－ac=0.∴ac－bc=ab－ac.∵abc≠0，两边都除以abc,得，.例5.已知：a+，a≠b≠c.求

5、证：a2b2c2=1.证明：由已知a－b==,∵a≠b，即a－b≠0，∴bc=.根据轮换式性质，得同型式：ca=,　ab=.∴ab×bc×ca=××.∴a2b2c2=1.三、练习531.已知：abc=1.求证：2.已知：x=,y=,　z=.求证：(1+x)(1+y)(1+z)=(1－x)(1－y)(1－z).3.已知：(ay－bx)2+(bz－cy)2+(cx－az)2=0.求证：.4.已知：.求证：(a+b+c)2+a2+b2+c2=2(a+b+c)(a+c).5.已知：.求证：a+b+c=0.55.已知：，a+b+c≠0.求证：.7.已知：1949x2=1988y2且

6、，x>0,y>0.求证：.8.已知：x=，且a<0,b<0.　　求证：.9.已知：x=(a>0,00　　　9.把左边分母有理化10.左边被开方数配方(a+可得a=2,b=111.用反比，合比.　　12.0.袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆

7、肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅