初中数学竞赛精品标准教程附练习20：代数恒等式的证明

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1、初中数学竞赛精品标准教程及练习（20）代数恒等式的证明一、内容提要证明代数恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形，要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。具体证法一般有如下几种1．从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简。变形的过程中要不断注意结论的形式。2．把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式。3．证明：左边的代数式减去右边代数式的值等于零。即由左边－右边＝0可得左边＝右边。4，由己知等式出发，经过恒等变形达到求证的结论。还可以把己知的条件代入求证的一边

2、证它能达到另一边，二、例题例1求证：3n+2－2　n＋2＋2×5n+2＋3n－2n＝10（5n+1+3n－2n-1）证明：左边＝2×5×5n+1＋（3n+2+3n）＋（－2n+2　－2n）＝10×5n+1＋3n(32+1)－2n-1(23＋2)　　　　　＝10（5n+1+3n－2n-1）=右边　又证：左边＝2×5n+2＋3n（32＋1）－2n(22+1)＝2×5n+2＋10×3n－5×2n右边＝10×5n+1+10×3n－10×2n-1　　　　＝2×5n+2＋10×3n－5×2n∴左边＝右边例2

3、己知:a+b+c=0　求证：a3+b3+c3=3abc证明：∵a3+b3+c3－3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－ac－bc）(见19例1)∵:a+b+c=0　∴a3+b3+c3－3abc＝0　　即a3+b3+c3=3abc又证：∵:a+b+c=0　　∴a=－（b+c）两边立方a3=－（b3+3b2c+3bc2+c3）移项　a3＋b3+c3＝－3bc(b+c)＝3abc再证：由己知　a=－b－c代入左边,得（－b－c）3+b3+c3＝－（b3+3b2c+3bc2+c3）+b3+c

4、3＝－3bc(b+c)=－3bc(－a)＝3abc3例3己知a+,a≠b≠c　求证：a2b2c2=1证明：由己知a-b=∴bc=b-c=∴ca=同理ab=∴ab　bc　ca＝＝1　　即a2b2c2=1例4己知:ax2+bx+c是一个完全平方式（a,b,c是常数）求证：b2－4ac=0证明：设:ax2+bx+c＝（mx+n）2，m,n是常数那么:ax2+bx+c＝m2x2+2mnx+n2根据恒等式的性质　得　∴:b2－4ac＝（2mn）2－4m2n2=0三、练习201．求证：①(a+b+c)2+(

5、a+b-c)2－(a-b-c)2－(a-b-c)2＝8ab②（x+y）4+x4+y4=2(x2+xy+y2)2③(x-2y)x3－(y-2x)y3=(x+y)(x-y)3④3n+2+5n+2―3n―5n=24(5n+3n-1)⑤a5n+an+1=(a3n－a2n+1)(a2n+an+1)2.己知：a2+b2=2ab求证：a=b3.己知：a+b+c=0求证：①a3+a2c+b2c+b3=abc②a4+b4+c4=2a2b2+2b2c2+2c2a24.己知：a2=a+1　　求证：a5=5a+35.己

6、知：x＋y－z=0　　　求证：x3+8y3=z3－6xyz6.己知：a2+b2+c2=ab+ac+bc求证：a=b=c7.己知：a∶b=b∶c　　　　　求证：（a+b+c）2+a2+b2+c2=2(a+b+c)(a+c)8.己知：abc≠0，ab+bc=2ac　求证：9．己知：　求证：x+y+z=010.求证：（2x－3）（2x+1）(x2－1)＋1是一个完全平方式11己知：ax3+bx2+cx+d能被x2+p整除求证：ad=bc练习20参考答案：1.④左边＝5n(52-1)+3n－1(33-3

7、)=24(5n+3n-1)　　注意右边有3　n-12.左边－右边＝（a-b）23.②左边－右边＝（a2+b2-c2）2-4a2b2=……4.∵a5=a2a2a,用a2=a+1代入5.用z=x+2y代入右边6.用已知的（左－右）×231.用b2=ac分别代入左边，右边化为同一个代数式2.在已知的等式两边都除以abc3.设三个比的比值为k,4.(2x2-x-2)211.用待定系数法袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀

8、袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁