初中数学竞赛精品标准教程及练习70份初中数学竞赛精品标准教程及练习20代数恒等式的证明.doc

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1、初中数学竞赛精品标准教程及练习（20）代数恒等式的证明一、内容提要证明代数恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形，要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。具体证法一般有如下几种1．从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简。变形的过程中要不断注意结论的形式。2．把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式。3．证明：左边的代数式减去右边代数式的值等于零。即由左边－右边＝0可得左边＝右边。4，由己知等式出发，经过恒等变形达到求证的结论。还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边，二、例题例1求证：3n+2－2　n＋2＋2×5n+2＋3n－2n＝

2、10（5n+1+3n－2n-1）证明：左边＝2×5×5n+1＋（3n+2+3n）＋（－2n+2　－2n）＝10×5n+1＋3n(32+1)－2n-1(23＋2)　　　　　＝10（5n+1+3n－2n-1）=右边　又证：左边＝2×5n+2＋3n（32＋1）－2n(22+1)＝2×5n+2＋10×3n－5×2n右边＝10×5n+1+10×3n－10×2n-1　　　　＝2×5n+2＋10×3n－5×2n∴左边＝右边例2己知:a+b+c=0　求证：a3+b3+c3=3abc证明：∵a3+b3+c3－3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－ac－bc）(见19例1)∵:a+b+

3、c=0　∴a3+b3+c3－3abc＝0　　即a3+b3+c3=3abc又证：∵:a+b+c=0　　∴a=－（b+c）两边立方a3=－（b3+3b2c+3bc2+c3）移项　a3＋b3+c3＝－3bc(b+c)＝3abc再证：由己知　a=－b－c代入左边,得（－b－c）3+b3+c3＝－（b3+3b2c+3bc2+c3）+b3+c3＝－3bc(b+c)=－3bc(－a)＝3abc例3己知a+,a≠b≠c　求证：a2b2c2=1证明：由己知a-b=∴bc=b-c=∴ca=同理ab=∴ab　bc　ca＝＝1　　即a2b2c2=1例4己知:ax2+bx+c是一个完全平方式（a,b,c

4、是常数）求证：b2－4ac=0证明：设:ax2+bx+c＝（mx+n）2，m,n是常数那么:ax2+bx+c＝m2x2+2mnx+n2根据恒等式的性质　得　∴:b2－4ac＝（2mn）2－4m2n2=0三、练习201．求证：①(a+b+c)2+(a+b-c)2－(a-b-c)2－(a-b-c)2＝8ab②（x+y）4+x4+y4=2(x2+xy+y2)2③(x-2y)x3－(y-2x)y3=(x+y)(x-y)3④3n+2+5n+2―3n―5n=24(5n+3n-1)⑤a5n+an+1=(a3n－a2n+1)(a2n+an+1)2.己知：a2+b2=2ab求证：a=b3.己知：

5、a+b+c=0求证：①a3+a2c+b2c+b3=abc②a4+b4+c4=2a2b2+2b2c2+2c2a24.己知：a2=a+1　　求证：a5=5a+35.己知：x＋y－z=0　　　求证：x3+8y3=z3－6xyz6.己知：a2+b2+c2=ab+ac+bc求证：a=b=c7.己知：a∶b=b∶c　　　　　求证：（a+b+c）2+a2+b2+c2=2(a+b+c)(a+c)8.己知：abc≠0，ab+bc=2ac　求证：9．己知：　求证：x+y+z=010.求证：（2x－3）（2x+1）(x2－1)＋1是一个完全平方式11己知：ax3+bx2+cx+d能被x2+p整除求证

6、：ad=bc练习20参考答案：1.④左边＝5n(52-1)+3n－1(33-3)=24(5n+3n-1)　　注意右边有3　n-12.左边－右边＝（a-b）23.②左边－右边＝（a2+b2-c2）2-4a2b2=……4.∵a5=a2a2a,用a2=a+1代入5.用z=x+2y代入右边6.用已知的（左－右）×21.用b2=ac分别代入左边，右边化为同一个代数式2.在已知的等式两边都除以abc3.设三个比的比值为k,4.(2x2-x-2)211.用待定系数法