初中数学竞赛精品标准教程及练习70份初中数学竞赛精品标准教程及练习20代数恒等式的证明.doc

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1、初中数学竞赛精品标准教程及练习(20)代数恒等式的证明一、内容提要证明代数恒等式,在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形,要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。具体证法一般有如下几种1.从左边证到右边或从右边证到左边,其原则是化繁为简。变形的过程中要不断注意结论的形式。2.把左、右两边分别化简,使它们都等于第三个代数式。3.证明:左边的代数式减去右边代数式的值等于零。即由左边-右边=0可得左边=右边。4,由己知等式出发,经过恒等变形达到求证的结论。还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边,二、例题例1求证:3n+2-2 n+2+2×5n+2+3n-2n=

2、10(5n+1+3n-2n-1)证明:左边=2×5×5n+1+(3n+2+3n)+(-2n+2 -2n)=10×5n+1+3n(32+1)-2n-1(23+2)     =10(5n+1+3n-2n-1)=右边 又证:左边=2×5n+2+3n(32+1)-2n(22+1)=2×5n+2+10×3n-5×2n右边=10×5n+1+10×3n-10×2n-1    =2×5n+2+10×3n-5×2n∴左边=右边例2己知:a+b+c=0 求证:a3+b3+c3=3abc证明:∵a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)(见19例1)∵:a+b+

3、c=0 ∴a3+b3+c3-3abc=0  即a3+b3+c3=3abc又证:∵:a+b+c=0  ∴a=-(b+c)两边立方a3=-(b3+3b2c+3bc2+c3)移项 a3+b3+c3=-3bc(b+c)=3abc再证:由己知 a=-b-c代入左边,得(-b-c)3+b3+c3=-(b3+3b2c+3bc2+c3)+b3+c3=-3bc(b+c)=-3bc(-a)=3abc例3己知a+,a≠b≠c 求证:a2b2c2=1证明:由己知a-b=∴bc=b-c=∴ca=同理ab=∴ab bc ca==1  即a2b2c2=1例4己知:ax2+bx+c是一个完全平方式(a,b,c

4、是常数)求证:b2-4ac=0证明:设:ax2+bx+c=(mx+n)2,m,n是常数那么:ax2+bx+c=m2x2+2mnx+n2根据恒等式的性质 得 ∴:b2-4ac=(2mn)2-4m2n2=0三、练习201.求证:①(a+b+c)2+(a+b-c)2-(a-b-c)2-(a-b-c)2=8ab②(x+y)4+x4+y4=2(x2+xy+y2)2③(x-2y)x3-(y-2x)y3=(x+y)(x-y)3④3n+2+5n+2―3n―5n=24(5n+3n-1)⑤a5n+an+1=(a3n-a2n+1)(a2n+an+1)2.己知:a2+b2=2ab求证:a=b3.己知:

5、a+b+c=0求证:①a3+a2c+b2c+b3=abc②a4+b4+c4=2a2b2+2b2c2+2c2a24.己知:a2=a+1  求证:a5=5a+35.己知:x+y-z=0   求证:x3+8y3=z3-6xyz6.己知:a2+b2+c2=ab+ac+bc求证:a=b=c7.己知:a∶b=b∶c     求证:(a+b+c)2+a2+b2+c2=2(a+b+c)(a+c)8.己知:abc≠0,ab+bc=2ac 求证:9.己知: 求证:x+y+z=010.求证:(2x-3)(2x+1)(x2-1)+1是一个完全平方式11己知:ax3+bx2+cx+d能被x2+p整除求证

6、:ad=bc练习20参考答案:1.④左边=5n(52-1)+3n-1(33-3)=24(5n+3n-1)  注意右边有3 n-12.左边-右边=(a-b)23.②左边-右边=(a2+b2-c2)2-4a2b2=……4.∵a5=a2a2a,用a2=a+1代入5.用z=x+2y代入右边6.用已知的(左-右)×21.用b2=ac分别代入左边,右边化为同一个代数式2.在已知的等式两边都除以abc3.设三个比的比值为k,4.(2x2-x-2)211.用待定系数法

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