初中数学竞赛精品标准教程及练习53：条件等式的证明(1)

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1、初中数学竞赛精品标准教程及练习（53）条件等式的证明一、内容提要1.恒等式：如果等式中所含的字母在允许值范围内，用任何实数值代替它，等式都能成立,那么这个等式叫做恒等式.例如：①a+b=b+a，　②(a+b)2=a2+2ab+b2，　③x－=(x≠0)，　　　　④　()2=a(在实数范围内a≥0)，⑤=a(在实数范围内n为正奇数).都是恒等式.只含常数的等式是恒等式的特例.　如：3－2=1，　.2.条件等式：满足一定条件下的等式，称为条件等式.方程是条件等式，解方程就是求出能满足等式的条件(未知数的值).3.　证明条件等式就是在

2、题设的条件下，判断恒等式.4.　证明条件等式的方法，除和证明恒等式的一般方法(见第20讲)以外，要特别注意如何把已知的条件用上.　一般有以下几种：①用已知的条件直接代入(即等量代换).②变形后代入(包括把已知变形，或把结论变形).③引入参数后代入(包括换元).5.分式，根式在恒等变形时，要注意字母保持允许值的范围不变.二、例题例1.　已知：,　,　且x+y+z≠0.求证：.分析：①设法化为同分母，　②轮换式可先代入一式，其余的可用同型式③用已知直接代入.证明：∵.　根据轮换式的性质，得∴=.例2.已知：.求证：(n是整数).分析

3、：先把已知变形，找出a,　b,　c之间的关系.证明：由已知，去分母，得bc(a+b+c)+ac(a+b+c)+ab(a+b+c)=abc.(a+b+c)(bc+ac)+ab(a+b)=0.(a+b)(b+c)(c+a)=0.∴a=－b，或b=－c，或c=－a.∵n是整数，∴2n+1是奇数.当a=－b时，左边=；　　　右边==.　　　即a=－b时，等式成立.同理可证：当b=－c和c=－a时，等式也成立.∴(n为整数).例3.　已知：ax3=by3=cz3,　.求证：.　　证明：设ax3=by3=cz3=k.(引入参数)那么ax2=

4、,　　by2=,　cz2=.　代入左边，得：　左边=；而且a=,　b=,　c=.　代入右边，　　　得：　右边=()=.∴.例4.已知：abc≠0，方程(ac－bc)x2+(bc－ab)x+(ab－ac)=0有两个相等实根.求证：分析：要等式成立，必须且只须ac－bc=ab－ac.证明：∵方程有两个相等的实数根，∴△=0.即(bc－ab)2－4(ac－bc)(ab－ac)=0.(bc－ab+ac－ac)2+4(bc－ac)(ab－ac)=0，(添项ac－ac)［(bc－ac)－(ab－ac)］2+4(bc－ac)(ab－ac)=0

5、.∴［(bc－ac)+(ab－ac)］2=0.∴bc－ac+ab－ac=0.∴ac－bc=ab－ac.∵abc≠0，两边都除以abc,得，.例5.已知：a+，a≠b≠c.求证：a2b2c2=1.证明：由已知a－b==,∵a≠b，即a－b≠0，∴bc=.根据轮换式性质，得同型式：ca=,　ab=.∴ab×bc×ca=××.∴a2b2c2=1.三、练习531.已知：abc=1.求证：2.已知：x=,y=,　z=.求证：(1+x)(1+y)(1+z)=(1－x)(1－y)(1－z).3.已知：(ay－bx)2+(bz－cy)2+(cx

6、－az)2=0.求证：.4.已知：.求证：(a+b+c)2+a2+b2+c2=2(a+b+c)(a+c).5.已知：.求证：a+b+c=0.6.已知：，a+b+c≠0.求证：.7.已知：1949x2=1988y2且，x>0,y>0.求证：.8.已知：x=，且a<0,b<0.　　求证：.9.已知：x=(a>0,0

7、并设为k,　则bc+b+1=,　ca+c+1=ck.6.由已知得，，则k=28.由已知得，1+x2=,注意a+b<0,ab>0　　　9.把左边分母有理化10.左边被开方数配方(a+可得a=2,b=111.用反比，合比.　　12.0.五一促销方案一．活动主题：购凯莱地板免费游港澳好礼送不停赢取华硕笔记本电脑二．活动时间：2011年4月9日——2011年5月6日三．活动范围：全省凯莱专卖店对于不参加本次促销活动的专卖店兰州公司取消2011全年物料、礼品、人员及促销政策的支持，特此说明！四、活动目标：全省区域销售50000平方米五、活

8、动背景与市场分析：2011年仍是甘肃房地产继续实施宏观调控的一年，是抑制通胀、调结构、保增长、惠民生的又一年，2011年甘肃消费市场在各种因素作用下，但经济整体稳定向好，刚性需求、保障性需求的政策导向决定了2011年市场仍然存在很多机会，特别是对于凯莱这样正在高