二项式定理公式、各种例题讲解及练习

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1、二项式定理例题讲解分类计数原理分步计数原理做一件事，完成它有n类不同的办法。第一类办法中有m1种方法，第二类办法中有m2种方法……，第n类办法中有mn种方法，则完成这件事共有：N=m1+m2+…+mn种方法。做一件事，完成它需要分成n个步骤。第一步中有m1种方法，第二步中有m2种方法……，第n步中有mn种方法，则完成这件事共有：N=m1m2…mn种方法。　注意：处理实际问题时，要善于区分是用分类计数原理还是分步计数原理，这两个原理的标志是“分类”还是“分步骤”。排列组合从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素，按照一定的顺

2、序排成一排，叫做从n个不同的元素中取m个元素的排列。从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中取m个元素的组合。排列数组合数从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为Pnm从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记为Cnm选排列数全排列数　二项式定理二项展开式的性质(1)项数：n+1项(2)指数：各项中的a的指数由n起依次减少1，直至0为止；b的指出从0起依次增加1，直至n

3、为止。而每项中a与b的指数之和均等于n。(3)二项式系数：各奇数项的二项式数之和等于各偶数项的二项式的系数之和例1．试求：（1）(x3－)5的展开式中x5的系数；（2）(2x2－)6的展开式中的常数项；（3）(x－1)9的展开式中系数最大的项；（4）在的展开式中，系数为有理数的项的个数．解：（1）Tr＋1＝依题意15－5r＝5，解得r＝2故(－2)2＝40为所求x5的系数（2）Tr＋1＝(2x2)6－r＝(－1)r·26－r·依题意12－3r＝0，解得r＝4故·22＝60为所求的常数项．（3）Tr＋1＝∵，而(－1)4＝

4、1，(－1)5＝-1∴T5＝126x5是所求系数最大的项（4）Tr＋1＝,要使x的系数为有理数，指数50－与都必须是整数，因此r应是6的倍数，即r＝6k（k∈Z），又0≤6k≤100，解得0≤k≤16（k∈Z）∴x的系数为有理数的项共有17项．评述求二项展开式中具有某特定性质的项，关键是确定r的值或取值范围．应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分．例2．试求：（1）(x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数；（2）(x－1)－(x－1)2＋(x－1)3－(x－1)4＋(x－1)5的展

5、开式中x2的系数；（3）的展开式中的常数项.解：（1）∵(x＋2)10＝x10＋20x9＋180x8＋…∴(x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数是－1＋180＝179（2）∵(x－1)－(x－1)2＋(x－1)3－(x－1)4＋(x－1)5＝∴所求展开式中x2的系数就是(x－1)6的展开式中x3的系数＝-20（3）∵=∴所求展开式中的常数项是-＝－20评述这是一组将一个二项式扩展为若干个二项式相乘或相加，或扩展为简单的三项展开式，求解的关键在于转化为二项展开式的问题，转化时要注意分析题目中式子的结构特征．例3．

6、（1）已知(1＋x)n的展开式中，x3的系数是x的系数的7倍，求n的值；（2）已知(ax＋1)7（a≠0）的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项，求a的值；(3)已知(2x＋)8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x的值．解：（1）依题意，即＝7n由于n∈N，整理得n2－3n－40＝0，解得n＝8(2)依题意由于a≠0，整理得5a2－10a＋3＝0，解得a＝1±（3）依题意T5＝＝1120，整理得x4(1＋lgx)＝1，两边取对数，得lg2x＋lgx＝0，解得lgx＝0或lgx＝－1∴x＝

7、1或x＝评述(a＋b)n的展开式及其通项公式是a，b，n，r，Tr＋1五个量的统一体，已知与未知相对的，运用函数与方程的思想方法，应会求其中居于不同位置，具有不同意义的未知数．例4．（1）若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值等于；（2）1＋2＝．解（1）令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝()4，令x＝-1，得a0-a1＋a2-a3＋a4＝，由此可得(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋

8、a4)＝[]4＝1（2）在(1＋x)10＝中，令x＝2，得1＋2评述这是一组求二项式系数组成的式子的值的问题，其理论依据是(a＋b)n＝为恒等式．二项式定理练习题1．在的展开式中，的系数为（）A．B．C．D．2．已知，的展开式按a的降幂排列，其中第n项与第n+1项相等，那么正整数n等于（）A．4B．9C．10D．11