【荐】二项式定理(知识、例题、习题、讲解)

《【荐】二项式定理(知识、例题、习题、讲解)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、二项式定理一、知识梳理1.二项展开式的通项公式是解决与二项式定理有关问题的基础.2.二项展开式的性质是解题的关键.3.利用二项式展开式可以证明整除性问题，讨论项的有关性质，证明组合数恒等式，进行近似计算等.二、例题分析例1.如果在（+）n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项.例2.求式子（｜x｜+－2）3的展开式中的常数项.思考（1）求（1+x+x2+x3）（1－x）7的展开式中x4的系数；（2）求（x+－4）4的展开式中的常数项；（3）求（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）50的展开式中x3的系数.解：（1）原式=（1－x）7

2、=（1－x4）（1－x）6，展开式中x4的系数为（－1）4C－1=14.（2）（x+－4）4==，展开式中的常数项为C·（－1）4=1120.（3）方法一：原式==.展开式中x3的系数为C.方法二：原展开式中x3的系数为C+C+C+…+C=C+C+…+C=C+C+…+C=…=C.评述：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键.例3.设an=1+q+q2+…+q（n∈N*，q≠±1），An=Ca1+Ca2+…+Can.（1）用q和n表示An；（2）（理）当－3

3、步练习1.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为A.20B.219C.220D.220－12.（2004年福建，文9）已知（x－）8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是A.28B.38C.1或38D.1或283.（05浙江卷）在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是()(A)－5(B)5(C)－10(D)104.(05山东)如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）（A）7（B）（C）21（D）5.

4、(05重庆卷)8.若展开式中含项的系数与含项的系数之比为-5，则n等于()(A)4；(B)5；(C)6；(D)10。6.(05重庆卷)在(1+2x)n展开式中含x3的项的系数等于含x的项的系数的8倍，则n等于()(A)5；(B)7；(C)9；(D)11。7.（05全国卷Ⅰ）的展开式中，常数项为。（用数字作答）8.（2004年全国Ⅳ，13）（x－）8展开式中x5的系数为_____________.9.（2004年湖南，理15）若（x3+）n的展开式中的常数项为84，则n=_____________.10.已知（x+1）n展开式中，末三项的二项式系数和等

5、于22，二项式系数最大项为20000，求x的值.11.若（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2+…+a11x11.求：（1）a1+a2+a3+…+a11；（2）a0+a2+a4+…+a10.12.在二项式（axm+bxn）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项.（1）求它是第几项；（2）求的范围.13.在二项式（+）n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项.14.求证：2<（1+）n<3（n≥2，n∈N*）.参考答案基本训练:BCA4.355.11例1.解：展开式中前三项的

6、系数分别为1，，，由题意得2×=1+，得n=8.设第r+1项为有理项，T=C··x，则r是4的倍数，所以r=0，4，8.有理项为T1=x4，T5=x，T9=.评述：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r.例2.解法一：（｜x｜+－2）3=（｜x｜+－2）（｜x｜+－2）（｜x｜+－2）得到常数项的情况有：①三个括号中全取－2，得（－2）3；②一个括号取｜x｜，一个括号取，一个括号取－2，得CC（－2）=－12，∴常数项为（－2）3+（－12）=－20.解法二：（

7、x

8、+－2）3=（－）6.设第r+1项为常数项，则T=C·（－1）

9、r·（）r·

10、x

11、=（－1）6·C·

12、x

13、，得6－2r=0，r=3.∴T3+1=（－1）3·C=－20.例3.解：（1）因为q≠1，所以an=1+q+q2+…+q=.于是An=C+C+…+C=［（C+C+…+C）－（Cq+Cq2+…+Cqn）］={（2n－1）－［（1+q）n－1］}=［2n－（1+q）n］.（2）=［1－（）n］.因为－3

14、

15、<1.所以=.例4.解：（a－2b－3c）10=（a－2b－3c）（a－2b－3c）…（a－2b－3c），从10个括号中任取3个括号，从中取a；再从剩余7个括号中任取4个括号，从中

16、取－2b；最后从剩余的3个括号中取－3c，得含a3b4c3的项为Ca3C·（－2b）4C（－3c）3=CCC