求函数解析式及值域的基本方法

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1、求函数解析式的基本方法求函数解析式是中学数学的重要内容，是高考的重要考点之一。本文给出求函数解析式的基本方法，供广大师生参考。一、定义法根据函数的定义求其解析式的方法。例1.已知，求。解：因为二、换元法已知看成一个整体t，进行换元，从而求出的方法。例2.同例1。解：令，所以，所以。评注：利用换元法求函数解析式必须考虑“元”的取值范围，即的定义域。三、方程组法根据题意，通过建立方程组求函数解析式的方法。例3.已知定义在R上的函数满足，求的解析式。解：，①②得，所以。评注：方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造

2、另一个方程。四、特殊化法通过对某变量取特殊值求函数解析式的方法。例4.已知函数的定义域为R，并对一切实数x，y都有，求的解析式。解：令，令，所以，所以五、待定系数法已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法。例5.已知二次函数的二次项系数为a，且不等式的解集为（1，3），方程有两个相等的实根，求的解析式。解：因为解集为（1，3），设，所以①由方程得②因为方程②有两个相等的实根，所以，即解得又，将①得。六、函数性质法利用函数的性质如奇偶性、单调性、周期性等求函数解析

3、式的方法。例6.已知函数是R上的奇函数，当的解析式。解析：因为是R上的奇函数，所以，当，所以函数值域的八大求法方法一：观察法例1.求函数的值域。解析：由。故此函数值域为。评注：此方法适用于解答选择题和填空题。方法三：反函数法例3.求函数的值域。解析：由得。由，得，解得。此函数值域为。评注：此方法适用范围比较狭窄，最适用于x为一次的情形。方法四：分离常数法注意形如的值域为。方法五：判别式法例5.求函数的值域。解析：原式整理可得。当即时，原式成立。当即时，，解得。综上可得原函数值域为。评注：此方法适用于x为二次的情形，但应注意

4、时的情况。方法六：图象法例6.求函数的值域。解析：作出此函数的图象，如下图所示。可知此函数值域为。评注：此方法最适用于选择题和填空题，画出函数的草图，问题会变得直观明了。方法七：中间变量法例7.求函数的值域。解析：由上式易得。由。故此函数值域为。评注：此方法适用范围极其狭窄，需要灵活掌握。方法八：配方法例8.求函数的值域。解析：因为，故此函数值域为。评注：此方法需要灵活掌握，常常可以达到意想不到的效果。