求函数解析式的基本方法

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1、1.已知定义在R上的函数满足，求的解析式。解：，①②得，所以。评注：方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程。四、特殊化法通过对某变量取特殊值求函数解析式的方法。例4.已知函数的定义域为R，并对一切实数x，y都有，求的解析式。解：令，令，所以，所以五、待定系数法已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法。例5.已知二次函数的二次项系数为a，且不等式的解集为（1，3），方程有两个相等的实根，求的解析式。解：因为解集为（1，3

2、），设，所以①由方程得②因为方程②有两个相等的实根，所以，即解得又，将①得。六、函数性质法利用函数的性质如奇偶性、单调性、周期性等求函数解析式的方法。例6.已知函数是R上的奇函数，当的解析式。解析：因为是R上的奇函数，所以，当，所以七、反函数法利用反函数的定义求反函数的解析式的方法。例7.已知函数，求它的反函数。解：因为，反函数为八、“即时定义”法给出一个“即时定义”函数，根据这个定义求函数解析式的方法。例8.对定义域分别是的函数，规定：函数若，写出函数的解析式。解：九、建模法根据实际问题建立函数模型的方

3、法。例9.用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图1），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器高为xcm，容器的容积为。求的导数，得当，那么为增函数；当，那么为减函数；因此，在定义域（0，24）内，函数只有当时取得最大值，其最大值为答：当容器的高为10cm，容器的容积最大，最大容积为。十、图像法利用函数的图像求其解析式的方法。例10.在同一平面直角坐标系中，函数的图像关于直线对称。现将的图像沿

4、x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移1个单位，所得的图像是由两条线段组成的折线（如图2所示），则函数的表达式为（）（A）（B）（C）（D）解析：由图像求得解析式将向左平移2个单位，向上平移1个单位得到的图像，所以因为的图像关于对称，所以互为反函数。所以所以选（A）。十一、轨迹法设出函数图像上任一点P（x,y），根据题意建立关于x,y的方程，从而求出函数解析式的方法。例11.已知函数的图像与函数的图像关于原点对称，求的解析式。解：设的图像上任一点P（x，y），P关于原点的对称点在的图像上，所以，所以函数值

5、域的八大求法刘俊求函数值域是高考的热点，同时也是大家学习中的一个难点，在求函数值域时本人总结以下八种方法，供大家参考。方法一：观察法例1.求函数的值域。解析：由。故此函数值域为。评注：此方法适用于解答选择题和填空题。方法二：不等式法例2.求函数的值域。解析：，此函数值域为。评注：此方法在解答综合题时可屡建奇功！方法三：反函数法例3.求函数的值域。解析：由得。由，得，解得。此函数值域为。评注：此方法适用范围比较狭窄，最适用于x为一次的情形。方法四：分离常数法例4.求函数的值域。解析：：。从而易知此函数值域为

6、。评注：此题先分离常数，再利用不等式法求解。注意形如的值域为。方法五：判别式法例5.求函数的值域。解析：原式整理可得。当即时，原式成立。当即时，，解得。综上可得原函数值域为。评注：此方法适用于x为二次的情形，但应注意时的情况。方法六：图象法例6.求函数的值域。解析：作出此函数的图象，如下图所示。可知此函数值域为。评注：此方法最适用于选择题和填空题，画出函数的草图，问题会变得直观明了。方法七：中间变量法例7.求函数的值域。解析：由上式易得。由。故此函数值域为。评注：此方法适用范围极其狭窄，需要灵活掌握。方法

7、八：配方法例8.求函数的值域。解析：因为，故此函数值域为。评注：此方法需要灵活掌握，常常可以达到意想不到的效果。