浅谈高中导数教学中所蕴含的数学思想

《浅谈高中导数教学中所蕴含的数学思想》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、浅谈高中导数教学中所蕴含的数学思想　　【摘要】导数是近代数学的重要基础，是联系初、高等数学的纽带，它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野，同时为我们研究函数及其对应的曲线带来很大的方便，尤其是可以利用导数来解决函数的单调性问题和最值问题。本文是对导数教学中所蕴涵的主要数学思想方法作肤浅的论述。　　【关键词】导数；教学数学；思想方法　　数学素质教育，是以促进学生学业和身心和谐发展为首要目标，全面提高数学素养为根本宗旨的基础教育，而数学思想方法在数学素质教育中占有重要的地位。在导数教学中，导数的应用很多，其中蕴涵的数学思想方

2、法也最丰富。因而，导数应用的学习是向学生渗透数学思想方法的最佳时机。　　一、数形结合的思想方法　　所谓数形结合，就是通过数形之间的相互转化：一方面把抽象的数量关系通过理想抽象的方法转化为适当的几何图形，从图形的结构直观地发现数量关系之间存在的内在联系，解决数量关系的数学问题；另一方面把关于几何图形的问题用数量或方程等表示，从它们的结构研究几何图形的性质与特征。其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。5　　二、转化思想法　　等价转化是把未知解的

3、问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。在《导数》一章里，等价转化思想无处不在，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。　　三、分类讨论思想法　　分类讨论是重要的数学解题方法。它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整个问题也就解决了。分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想作

4、为联系知识能力中的作用，从而提高简化计算能力。　　例如：已知，a∈R求函数f（x）=ex（x■2+ax+a+1）的极值点的个数。　　分析：按照求极值的基本方法，首先从方程f'（x）=0求出在函数f（x）定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值。　　解：f'（x）=ex（x■2+ax+a+1）+ex（2x+a）=ex[x2+（a+2）x+（2a+1）]；令f'（x）=0得x2+（a+2）x+（2a+1）=0　　（1）当Δ=（a+2）2-4（2a+1）=a2-4a=a（a-4）>0，即a>0或

5、ax2，于是，f'（x）=ex（x-x1）（x-x2）从而有下表：　　即此时f（x）有两个极值点。5　　（2）当Δ=0时，即a=0或4时，x2+（a+2）x+（2a+1）=0有两个相同实根x1=x2于是：，f'（x）=ex（x-x1）2故当x>x1时f'（x）>0；x>x2时f'（x）>0因此f（x）无极值。　　（3）当Δ0，故f'（x）为增函数，此时无极值。因此当a>4或a<0时f（x）有2个极值点。当0≤a≤4时无极值。　　说明：思维的周密性是解决问题的基础，在解题过程中，要全面、系统地考虑问题，注意各种条件综合运用，

6、方可实现解题的正确性。解答本题时应注意f'（x）=0只是函数f（x）在x处有极值的必要条件，如果再加之x0附近导数的符号相反，才能断定函数在x0处取得极值。反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误。　　四、方程思想与待定系数法　　方程思想在《导数》中到处可见，与它同时出现的是待定系数法。在确定函数的表达式或求函数表达式的系数等方面都可以根据方程的思想，通过待定系数法来实现。　　例如：已知f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=±1时取得极值，且f（1）=-1。试求常数a、b、c的值。　　分析：考察

7、函数f（x）是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为f'（x）=0的根建立起由极值点x=±1所确定的相关等式，运用方程的思想结合待定系数法求出参数a、b、c的值。　　解：.f'（x）=3ax2+2bx+c，∵x=±1是函数f（x）的极值点，　　∴x=±1是方程，f'（x）=0即3ax2+2bx+c=0的两根，5　　由根与系数的关系得，■=-1①-■=0②又f（1）=-1，∴a+b+c=1③，由（1）、（2）、（3）解得a=■，b=0，c=-■。　　说明：解题的成功要靠正确思路的

8、选择。本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化，在转化的过程中充分运用了已知条件确定了解题的大方向.可见出路在于“思想认识”。在求导之后，不会应用的隐含条件，因而造成了解决问题的最大思维障碍。　　五、整体的思想方法　　整体的思想方法是通过对问题整体结