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1、试析一道课本练习题中所蕴含的数学思想王新民1（内江师范学院数学与信息科学学院）摘要：“圆面分割问题”蕴含着丰富的数学思想方法，通过从归纳、类比与演绎三个维度的分析，揭示了该问题中的基本量性结构，提出了两种能够体现数学特点的归纳思维模式：要素归纳模式与递推归纳模式。利用所提出的思维模式与所获得的结论对其它分割问题给出较为简捷的、具有一致性的解答思路。关键词：圆面分割问题；归纳思想；归纳模式；类比思想普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2（人教B版）“推理与证明”一章中的练习题：圆周上两个点所连的弦将圆的闪部分成两部分，3个点
2、所连的弦最多把圆的内部分成4部分，4个点所连的弦最多把圆的内部分成8部分，5个点所连的弦最多把圆的内部分成16部分，由此归纳出n个点所连的弦最多把圆的內部分成2&1部分.这个结论正确吗？这道题的本意是要学生感知归纳推理所得结论的不可靠性，体会归纳推理的或然性.题屮的答案当然是错误的，但如果要问正确的答案是多少？这是一个较难冋答的问题，然而也是一个非常有趣的问题.本文将从归纳、类比与演绎三个维度分析此问题屮所蕴含的数学思想方法.为了方便起见，以下把这道练习题称为“圆面分割问题”.1归纳思想数学归纳推理的目的在于寻找隐藏在特殊事
3、例之屮的量性模式，其中呈性模式是指“按照某种理想化的要求（或实际可应用的标准）来反映（或概括地表现）一类或一种事物关系结构的数学形式”llj.对于“圆面分割问题”，要从所提供的具体数值（2,4,8，16,…）中归纳出一般性的结论，就需要考察这些数值的量性结构.下面介绍两种探讨这种量性结构的归纳思维模式.1.1要素归纳模式要素归纳模式是指通过探讨所考虑对象的构成要素及其构成方式而发现规律的思维方式，其核心是探寻具有一致性的量性结构.通过简单的分析，在“圆面分割问题”屮，影响分割部分数的要素有：圆面数、弦数以及弦的交点数.由此我
4、们可以从圆面数、弦数和交点数来收集和加工具体数值，如表1所示：表h“圆面分割问题”中各要素的数值圆周上的点数圆面数所连的弦数圆闪弦的交点数圆面被分成的部分数11001211023130441618511051661151531作者简介：王新民（1962—），男，汊族，甘肃敦煌人，副教授，主要从事数学课程与教学论研究.712135571111111aa11a1aanc°nC?c4n从表中前七行的数值可以归纳出如下结论：圆内被分成的部分数=圆面数+弦数+交点数由此可以推测：圆周上的az个点所连的弦最多把圆的内部分成的部分数为：S
5、„=C>C;+C类似地，运用要素归纳思维模式能够以较快的速度归纳出其它“分割W题”的量性结构：（1）直线分割问题：直线上77个点将该直线分成的S多部分数为：C；+C；（直线数+点数）；（2）平面分割问题：平面上的《条直线将该平面分成的最多部分数为：C：；+C+C；（平面数+直线数+点数）；（3）空间分割问题：空间中的打个平而将该空间分成的最多部分数为：OCW:（空间数+平面数+直线数+点数）.1.2递推归纳模式递推归纳模式是指，在数列中，通过探讨由己知项“生出”未知项的结构方式，从而发现一般规律的一种思维方式，其核心是归
6、纳出相邻项间的递推关系.在具体运用中，最为有效的策略是考察相邻两项的差的特点，因为“差”在减小数值的同时往往也降低了所考察对象的“维度”.在“圆面分割问题”中，对于圆面分割数所组成的数列，重复地用后一项减去它前一项，可产生以下数列：1,2,4,8，15，26，…1,2,4,7,11,-1，2,3,4,…不难发现，这三个数列分别是“空间分割”、“平面分割”、“直线分割”中相应的分割部分数所组成的数列.这表明，“圆面分割”中的数列是由上述三个数列从低维到高维依次生成的.若记“空间分割”中的数列为（其中％=1），则可得“圆面分割”
7、中的数列［?„｝所满足的递推关系：S„=S^+^（/7>2）.因为〜=cL2+C24<_2+c,:_2（/^2）,采川简单的叠加（错位相消法）便可以得到：=C；_,++Ct+Ct+Cl,=C：++C；.2类比思想在归纳推理屮，最困难的问题是寻找归纳的线索，对具体数伉的组合选择一个合适的加工方式.然而，如果借助类比，则常常像黑夜里突然亮起了一盏灯一样，可指明前进的方向，正如波利亚所说：“类比是一个了不起的向导.”[2].在“圆面分割问题”中，最容易归纳的结果是虽然它不是要找的答案，但却提供了一个信息：答案应该与2""1有关.如
8、果能巾此联想到二项式系数的和便可以类比上述和的结构，对“圆而分割”数列[5」屮的各项进行如下加工改造.•5,=1=2°=CO°;52=2=2'=C,°+C1,；53=4=22=C2°+Ci+C22;S4=8=23=Cf+C'+C^+C^s5=16=24=OCj+C42+C:+C44;56=
