对于超越数的哲学史话

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1、对于超越数的哲学史话对于超越数的哲学史话导读：这样的数称为超越数。他的证明是这样的。　　和上叙述的一样代数数是满足方程(1)的任何实数或复数，其中ak都是整数，代数数的概念是有理数的自然扩充，因为后者构成n＝1这特殊性形。　　但并不是每一个实数都是代数数。这一差可以从康托的证明看出所有代数数的全体是可数的。由于所有实数的集合是不可数时，所以一定存在不是代【摘要】从教学发展史的角度，较全面地叙述人类发现超越数是数学的两个侧面，即从代数数论和集论得到超越数是存在的。并简单介绍两个常见的超越数e和π。　　【

2、关键词】代数无理数；超越无理数e,,γ-欧拉(Euler）数　　　　Historyofphilosophybeyondthenumberof　　ZhouXilongHuHanlin　　【Abstract】teachingthehistoryofthedevelopmentfromtheperspectiveofamoreprehensiveaccountofhumanbeingsarefoundbeyondthetathematicsfromalgebraicnumbertheoryandsetthe

3、orytobebeyondafeonthanthenumberofeandπ.　　【Keyber;beyondtheirrationalnumbere,,γ-Euler(Euler)thenumberof　　　　我们来回顾一下数系的状况，早在18世纪时，虽然在弄清无理数概念方面没有什么成就，但是对无理数本身还是作出了某些进展。1737年Euler（1707～1983）基本上证明了e和e2是无理数，Labert证明了π是无理数。任何有理系数代数(多项式)方程的任何一个根(不管是实的还是复的叫做一个代数

4、数，这样方程　　anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0（1）　　的根叫做代数数，其中ai是有理数。因此所有的有理数和一部分无理数是代数数，这是因为，任一有理数(是方程x-c=0的根，而2是x2-2=0的根，不是代数数的数叫做超越数，因为Euler说过：“它们超越了代数策略的能力。”Euler至少早在1744年就认识到了代数数与超越数之间的这一差别。他猜测说，以有理数为底的有理数的对数，必定或者是有理数，或者是超越数，然而18世纪时不知道有哪一个数是超越数，因为证明超越数

5、存在的理由仍旧没有解决。　　到19世纪中叶，关于代数无理数与超越无理数的工作，是朝着更好地了解无理数的方向跨进的一步。代数无理数与超越无理数之间的区别在19世纪已经完成了。值得一提的是超越数的存在的证明都是兵分两路地进行着。为此我们从新捡起它们的头绪。　　一方面超越数的哲学史话由.ite（爱米特)关于e是超越数的证明，在得到这个结果以后，Hermite写给CarlBorohardt(1817~1880)说：“我不敢去试着证明π的超越性。如果其他人承担了这项工作对于他们的成功没有比我再高兴的人了，但相信我

6、，我亲爱的朋友，这决不会不使他们花去一些力气。　　Legendre（勒尚德)早曾猜测π是超越数，FerdinadLindemann。（费尔德兰得•林德曼.1852－1939)在1882年用实质和Hermite没有什么差别的策略证明了这个猜测，Lindemann指出，如果x1,x2,…,xn是不相同的代数数实的或复的而p1，p2，…，pn是不建全为零的代数数，则和数　　p1ex1+p2ex2+…+pnexn　　不用是0，如果我们取n＝2，p1＝1，x

7、2＝0，则可见当x1是非零代数数时，ex1不能是代数数。由于x1可以取成1、e是超越数，现在已知eiπ＋1＝0从而数iπ不能是代数数，由于两个代数的乘积是代数数，而i是代数数，所以π不是代数数，π是超越数的证明解决了著名的几何作图理由的最后一个项目“圆化方的理由”，因为所有可作出的数都是代数数。　　关于一个基本的常数仍是一个谜。Euler常数γ。　　γ＝lim（1＋12＋…＋1n-lnn）　　近似地是0。57721564490它在分析中，特别在Γ函数与ζ(s)函数的研究中起着重要作用

8、，却至今不知道它是有理数还是无理数。至于这点大数学家希尔伯脱多次向全世界的数学家发出呼吁”已到了喋喋不休的程度。最近有人揭示了RiemannZeta函数与Euler常数之间的关系表示式为γ＝∑∞n=2(-1)nnζ(s)。又进而言之有关系式∑∞n=1ζ(2n+1)(n+1)(2n+1)=1-γ由这个关系式可以看出。Euler常数是否为无理数的理由与RiemannZeta函数(当Re(s)为正奇数时)有密切的关系。这当然是个猜测。南昌大学教