专题10+数列求和及其应用(易错起源)-2018年高考数学(理)备考黄金易错点+word版含解析

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1、1.【2017天津，理18】已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和.【答案】（1）..（2）.【解析】（II）解：设数列的前项和为，由，，有，故，，上述两式相减，得得.所以，数列的前项和为.2.【2017江苏，19】对于给定的正整数,若数列满足对任意正整数总成立，则称数列是“数列”.（1）证明：等差数列是“数列”;（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列.【答案】（1）见解析（2）见解析（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此，当时，，①当时

2、，.②由①知，，③，④将③④代入②，得，其中，所以是等差数列，设其公差为.在①中，取，则，所以，在①中，取，则，所以，所以数列是等差数列.3.【2017山东，理19】已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1,1)，P2(x2,2)…Pn+1(xn+1,n+1)得到折线P1P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，所围成的区域的面积.【答案】(I)（II）（II）过……向轴作垂线，垂足分别为……,由(I)得记梯形的面积为

3、.由题意，所以……+=……+①又……+②①-②得=所以4.【2016高考天津理数】已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的是和的等差中项.(Ⅰ)设，求证：是等差数列；(Ⅱ)设，求证：【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析【解析】（Ⅰ）证明：由题意得，有，因此，所以是等差数列.（Ⅱ）证明：所以.5.【2016高考新课标3理数】已知数列的前n项和，其中．（I）证明是等比数列，并求其通项公式；（II）若，求．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）由题意得，故，，．由，得，即．由，得，所以.因此是首项为，公比为的等比数列，于是．（Ⅱ）由（

4、Ⅰ）得，由得，即，解得．6.【2016高考浙江理数】设数列满足，．（I）证明：，；（II）若，，证明：，．【答案】（I）证明见解析；（II）证明见解析．【解析】（I）由得，故，，所以，因此．（II）任取，由（I）知，对于任意，，故．从而对于任意，均有．由的任意性得．①否则，存在，有，取正整数且，则，与①式矛盾．综上，对于任意，均有．7.【2016年高考北京理数】（本小题13分）设数列A：，,…().如果对小于()的每个正整数都有＜，则称是数列A的一个“G时刻”.记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合.（1）对数列A：-2，2，-1，1

5、，3，写出的所有元素；（2）证明：若数列A中存在使得>，则；（3）证明：若数列A满足-≤1（n=2,3,…,N）,则的元素个数不小于-.【答案】（1）的元素为和；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】（Ⅲ）当时，结论成立.以下设.由（Ⅱ）知.设.记.则.对，记.如果，取，则对任何.从而且.又因为是中的最大元素，所以.从而对任意，，特别地，.对.因此.所以.因此的元素个数p不小于.8.【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）已知数列{}的首项为1，为数列的前n项和，，其中q>0，.（Ⅰ）若成等差数列，求的通项公式；（Ⅱ）设双曲线

6、的离心率为，且，证明：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）由已知，两式相减得到.又由得到，故对所有都成立.所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列.从而.由成等比数列，可得，即，则，由已知,，故.所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.所以双曲线的离心率．由解得.因为，所以.于是，故.9.【2016高考上海理数】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.（1）若具有性质，且，，求；（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，判

7、断是否具有性质，并说明理由；（3）设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.【答案】（1）．（2）不具有性质．（3）见解析．【解析】（1）因为，所以，，．于是，又因为，解得．（3）[证]充分性：当为常数列时，．对任意给定的，只要，则由，必有．充分性得证．必要性：用反证法证明．假设不是常数列，则存在，使得，而．下面证明存在满足的，使得，但．设，取，使得，则，，故存在使得．取，因为（），所以，依此类推，得．但，即．所以不具有性质，矛盾．必要性得证．综上，“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”．10.【

8、2016高考新课标2理数】为等差数列的前项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求数列的前1000项和．【答案】（Ⅰ），，；（Ⅱ）1893.【解析】（Ⅰ）设的公差为，据已知有，解得所以的通项公式为（Ⅱ）