材料力学中组合梁组合变形的一种通用解法

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1、材料力学中组合梁组合变形的一种通用解法两种或多种不同材料制成的组合梁是工程实际中的一种常用结构。本文基于材料力学中的平面假设、胡克定律等基本假设和概念，给出了组合梁组合变形分析的一种通用解法，建立轴力、弯矩与拉伸位移和弯曲挠度的关系，推导出拉伸位移和弯曲挠度满足的微分方程。该分析方法简单易懂，适合材料力学教学和工程实际应用。关键词：材料力学；组合梁；组合变形　　梁是工程中最常用的构件，杆或梁的拉、弯、扭变形分析是材料力学课程最基本的讲授内容。两种或多种不同材料制成的组合梁是工程实际中常见的一种结构。在材料力学教学中[1-3]，根据叠加原理，很容易分析求解同一种材料组成的、截面形状较为

2、简单的杆、梁的拉、弯、扭等两种或多种受力的组合变形问题。但是，组合梁的拉-弯组合变形问题的分析显得十分困难。根据实际教学经验，基于简单的微积分知识，本文给出了组合梁组合变形的一种通用分析方法。运用该方法，分析了悬臂梁端部受三种不同载荷作用下，悬臂梁的水平位移和弯曲变形情况。在完成材料力学课程教学内容的同时，该分析方法可作为拓展内容进行讲述。　　一、组合变形几何关系　　图1所示的组合梁，宽度为，由上下两种材料组成，上层高度为，材料的弹性模量用表示；下层高度为，材料的弹性模量用表示，且。建立直角坐标系oxy，x轴与两种材料的界面重合。在x轴上，组合梁受x轴方向的分布力、分布弯矩和横向分布

3、力共同作用。x轴上任一点沿x方向的水平位移为，挠度为。　　　　根据材料力学挠曲线方程[2,3]，组合梁任一横截面的转角?可由挠度表示为　　（1）从x轴到y轴的旋转方向为正。根据几何关系，可以得到微元△x中任一点沿x方向的位移　　（2）　　根据应变的定义[1-3]，得到微元△x中纤维的应变　　（3）　　二、组合变形物理关系　　根据材料力学的平面假设，纵向纤维之间没有挤压应力，每一纤维都是单向拉伸或压缩。即在弹性范围内，由单轴应力状态下的胡克定律可得横截面上的正应力分布　　（4）　　由材料力学梁的弯曲应力可知，横截面微元△x上的微力组成一空间平行力系，最终该力系简化为横截面上轴力和弯矩，

4、与正应力的关系为（5）将应力（4）式代入上式中，得到（6）（7）式（6）和式（7）分别是轴力和弯矩与轴向位移和挠度之间的关系，其中的、和分别被称为抗拉刚度、拉弯耦合刚度和抗弯刚度（8）（9）（10）式（8）-式（10）给出的抗拉刚度、拉弯耦合刚度和抗弯刚度仅与材料性能和横截面的尺寸形状有关。容易验证，当上下两层等厚，材料相同时，我们有（11）则公式（6）和（7）变为（12）即退化到矩形截面均质梁的结果。即是对于均质的梁，如果，那么拉弯耦合刚度。三、组合变形平衡关系　　根据静力学关系可知，微元△x截面上的内力轴力、弯矩和剪力与微元△x上的外力平衡，即内外力满足的下列平衡方程（13）（1

5、4）（15）将轴力和弯矩的表达式（6）、（7）代入方程（13）、（14）（15）得到水平位移和挠度满足的微分方程（16）（17）方程（16）、（17）即是以位移和挠度为未知函数的组合梁组合变形的微分方程。四、方程的通解　　将方程（16）微分后代入方程（17），得到　　（18）上式中为等效抗弯刚度，为等效分布载荷　　（19）　　（20）方程（18）即为材料力学中的梁弯曲问题的微分方程[1-3]，其通解为（21）其中式中的、、和是由边界条件确定的常数。　　将挠度（21）式代入（16）式，得到水平位移的通解（22）其中式中的和是由边界条件确定的常数。五、悬臂组合梁变形如图2所示的长度为宽为

6、的组合悬臂梁，仅在端部处作用集中力。　　　根据通解（21）和（22），梁的挠度和位移分别为（23）（24）　　在固支端A，转角、挠度和水平位移均为零，即当时，（25）从而可以得到（26）即有（27）（28）那么将（27）和（28）式代入（6）和（7）式得到轴力、弯矩和剪力为（29）（30）（31）（一）悬臂梁受轴向力的情况　　假设组合悬臂梁端部受轴力作用，即当时，（32）将（29）-（31）式代入（32）式，得（33）　　将（23）式代入（27）和（28），得（34）可以看出，组合悬臂梁在端部受轴力时，除了产生轴向位移外，还产生了弯曲变形。当拉弯耦合刚度时，挠度为零，也即没有耦合变形

7、。（二）悬臂梁受弯矩的情况　　悬臂梁在端部受弯矩的作用，边界条件为当时，（35）将（29）-（31）式代入（35）式，得（36）最后给出问题的解（37）可以看出，组合悬臂梁在端部受纯弯矩时，除了产生挠度外，还产生了水平位移。当拉弯耦合刚度时，轴向位移为零，也即没有耦合变形。（三）悬臂梁受剪切力的情况　　在端部受剪力的作用，边界条件为当时，（38）将（29）-（31）式代入（38）式，得（39）最后给出问题的解（40）结果表明，组合悬臂梁在端部受剪切集中力时