高中数学推理与证明

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1、推理与证明要点1：合情推理例1：（2010·福建高考文科·Ｔ１６）观察下列等式：①cos2a=2-1;②cos4a=8-8+1;③cos6a=32-48+18-1;④cos8a=128-256+160-32+1;⑤cos10a=m-1280+1120+n+p-1.可以推测，m–n+p=.【规范解答】观察得：式子中所有项的系数和为1，，，又，，．【答案】962．要点2：演绎推理例2：（2010·浙江高考理科·Ｔ14）设，将的最小值记为，则其中=__________________.【规范解答】观察表达式的

2、特点可以看出，……，当为偶数时，；，，……，当为奇数时，．【答案】．要点3：直接证明与间接证明例3：（2010·北京高考文科·Ｔ20）已知集合对于，，定义A与B的差为A与B之间的距离为（Ⅰ）当n=5时，设，求，；（Ⅱ）证明：，且;(Ⅲ)证明：三个数中至少有一个是偶数【思路点拨】（I）（Ⅱ）直接按定义证明即可；(Ⅲ)“至少”问题可采用反证法证明．第10页共10页【规范解答】（Ⅰ）＝（1,0,1,0,1）＝3(Ⅱ)设因为，所以,从而,由题意知,当时，,当时，,所以(Ⅲ)证明：设,记由（Ⅱ）可知,所以中1的个

3、数为k,中1的个数为,设是使成立的的个数。则由此可知，三个数不可能都是奇数，即三个数中至少有一个是偶数．注：有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可；要点4：数学归纳法例4：等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1）求r的值;（11）当b=2时，记证明：对任意的，不等式成立【解析】因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,,当时,,又因为{}为等比数列,所以,公比为,（2）当b=2时，,,则,所以.下面用数学归纳法证明不等式成立

4、.①当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.第10页共10页①假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边=所以当时,不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立.注：（1）用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式，命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n=k到n=k+1时等式的两边会增加多少项，增加怎样的项。（2）在本例证明过程中，①考虑“n取第一个值的命题形式”时，需认真对待，一般情况是把第一个值供稿通项，判断命题的真假，②在由n=k到n=k+1

5、的递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法。（3）在用数学归纳法证明的第2个步骤中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确n=k+1时证明的目标，充分考虑由n=k到n=k+1时，命题形式之间的区别和联系。【高考真题探究】1．（2010·山东高考文科·Ｔ１０）观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=（）（A）(B)(C)(D)【规范解答】选D．通过观察所给的结论可知，若是偶函数，则导函数是奇函数，故选D．2．（2010·陕西高考理科·Ｔ１２）

6、观察下列等式：,……，根据上述规律，第五个等式为____________.【规范解答】由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下：即左边底数的和等于右边的底数。故第五个等式为：【答案】3．（2010·北京高考理科·Ｔ20）已知集合对于，，定义A与B的差为A与B之间的距离为；（Ⅰ）证明：，且;（Ⅱ）证明：三个数中至少有一个是偶数(Ⅲ)设P，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为(P).证明：（P）≤.第10页共10页【思路点拨】（I）直接按定义证明即

7、可；（Ⅱ）“至少”问题可采用反证法证明；(Ⅲ)把表示出来，再利用均值不等式证明．【规范解答】（I）设，，因为，，所以,,从而又,由题意知，，.,当时，;,当时，,所以,(II)设，，，，.记，由（I）可知,，,,所以中1的个数为，中1的个数为．设是使成立的的个数，则由此可知，三个数不可能都是奇数，即,,三个数中至少有一个是偶数．（III）,其中表示中所有两个元素间距离的总和，设中所有元素的第个位置的数字中共有个1，个0则＝,由于所以,从而【方法技巧】（1）证明“至少有一个……”的时，一般采用反证法；（2

8、）证明不等式时要多观察形式，适当变形转化为基本不等式．4．（2010·江苏高考·Ｔ23）已知△ABC的三边长都是有理数。（1）求证：cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。【思路点拨】（1）利用余弦定理表示cosA，由三边是有理数，求得结论；（2）可利用数学归纳法证明.【规范解答】方法一：（1）设三边长分别为，，∵是有理数，是有理数，分母为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，∴必为有理数，∴cosA是有理数。