高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎证明-合情推理优化练习

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1、2.1.1合情推理[课时作业][A组　基础巩固]1．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72015的末两位数字为(　　)A．01　　　　　　　　B．43C．07D．49解析：因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807，76＝117649，…，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T＝4.又2015＝4×503＋3，所以72015的末两位数字与73的末两位数字相同，为43.答案：B2．下面几种推理是合情推理的是(　　)①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归

2、纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.A．①②B．①③C．①②④D．②④解析：①是类比推理；②是归纳推理；④是归纳推理．所以①、②、④是合情推理．答案：C3．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为(　　)A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29C．a1a2…a9＝2×9D．a1＋a2＋…＋a9

3、＝2×9解析：等比数列中积等差数列中的和∴a1＋a2＋…＋a9＝2×9.答案：D4．定义A*B，B*C，C*D，D*B依次对应4个图形：那么4个图表中，可以表示A*D，A*C的分别是(　　)A．(1)，(2)B．(1)，(3)C．(2)，(4)D．(1)，(4)解析：由①②③④可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A代表竖线，字母B代表大矩形，字母C代表横线，字母D代表小矩形，∴A*D是(2)，A*C是(4)．答案：C5．n个连续自然数按规律排列下表：根据规律，从2015到2017箭头的方向依次为(　　)A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓解析：观察特例的规律知：位

4、置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由可知从2015到2017为→↓，故应选D.答案：D6．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图)，试求第七个三角形数是________．解析：观察知第n个三角形数为1＋2＋3＋…＋n＝，∴第7个三角形数为＝28.答案：287．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2.则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：＝＝·＝×＝.答案：1∶88．设函数f(x)＝(x>0)，观察：f1(x)＝f

5、(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝，f3(x)＝f(f2(x))＝，f4(x)＝f(f3(x))＝，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.解析：根据题意知，分子都是x，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…可知fn(x)的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n－1，故fn(x)＝.答案：9．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系，给出正确结论．解析：由平面直角三角形

6、类比空间三棱锥由边垂直侧面垂直．直角三角形的“直角边长、斜边长”类比“三棱锥的侧面积、底面积”，因此类比的结论是：“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC、ACD、ABD两两相互垂直，则S＋S＋S＝S”．10．已知数列{an}的第1项a1＝1，且an＋1＝(n＝1,2，…)，试归纳出这个数列的通项公式．解析：当n＝1时，a1＝1当n＝2时，a2＝＝；当n＝3时，a3＝＝；当n＝4时，a4＝＝.观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数，由此猜想，这个数列的通项公式为：an＝(n＝1,2，…)．[B组　能力提升]1．已知数列{an}满足an＋1＝an－an－1(n≥2)，a

7、1＝a，a2＝b，设Sn＝a1＋a2＋…＋an，则下列结论正确的是(　　)A．a100＝－a，S100＝2b－aB．a100＝－b，S100＝2b－aC．a100＝－b，S100＝b－aD．a100＝－a，S100＝b－a解析：∵a1＝a，a2＝b，a3＝b－a，a4＝－a，a5＝－b，a6＝a－b.且a7＝a6－a5＝a，a8＝b，…，∴数列{an}具有周期性，周期为6，且S6＝0则a100＝a4＝－a，S100＝S4＝2b－a.答案：A2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是(　　)①各棱长相等，同