复变函数与积分变换在自动控制原理中的应用

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1、复变函数论文复变函数与积分变换在自动控制原理中的应用姓名：何缘鸽学号：092410101学院(系)：电气与电子工程系专业：自动化指导教师：秦志新评阅人：2复变函数与积分变换在自动控制原理中的应用【摘要】：复变函数与积分变换的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学、电磁学、热学、弹性理论中的平面问题的有力工具。而自然科学和生产技术的发展又极大地推动了复变函数的发展，丰富了它的内容。我们在学习的过程中，要正确理解和掌握复变函数中的数学概念和方法，逐步培养利用这些概念和方

2、法解决实际问题的能力。文中简单地介绍了该门课程在自动控制理论中的应用。【关键词】：线性系统Z变换卷积拉普拉斯变换【正文】：提出问题：众所周知，复变函数中的许多概念、理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展，因而它们之间有许多相似之处。但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了taylor级数展开laplace变换和fourier变换后而使其显得更加重要了。随着教育事业的不断发展与更新，一些新的处理数据的方法越来越多的应用于我们的日常专业学习中。当然复变函数在自动控制原理方面的应用也

3、更大的加快了自动化的发展，自动控制与信号处理-11-也更加离不开一套有效的处理方法。但是常规的Fourier变换的运算的范围还是有限的，如何去解决一些不能展开成Fourier级数的信号成了我们的首要问题。分析问题：虽然常规的Fourier变换的运算的范围是有限的，，但Laplace变换、Z变换等填补了Fourier变换的不足之处，究竟其有什么好处呢？下面就介绍一些例子，从中就能看出。例1：如图1所示电路，原处于稳态，开关S于t=0时由1端转向2端，R=10，L=1H,C=0.004F,求换路后电流i

4、(t)。图1+2V-+-CLRS12+10V-解：因换路前电路已达稳态，故可知,换路后，电路的微分方程为=10对上式进行拉普拉斯变换，得=-11-解得=代入已知数据得===用查表法可求得上式的拉普拉斯反变换为例2：如图2所示为常用的二阶有源系统的电路模型，设、C=1F。试求系统函数（电压传递函数）；当K=3时，求冲激响应和阶跃响应。b1F+-+-+-1Fa+-图2解：由图2可得s域的节点方程-11-联立上述三式求解，并代入参数，可得当K=3时，得所以V由于故得阶跃响应V由上面两例题可以看出，通过拉普

5、拉斯变换可将时域中的微分方程变换为复频域中的代数方程，使求解简化。系统的起始状态（条件）可以自动地包含到象函数中，从而可一举求得方程的完全解。用拉普拉斯变换法分析电网络系统时，甚至不必列写出系统的微分方程，而直接利用电路的s域模型列写电路方程，就可以获得响应的象函数，再反变换即可得原函数。例3：已知，试求Z反变换。解：，有两个二重极点，即。在点的留数-11-因为在本学期，我们学习的复变函数与积分变换中，对Z变换并未进行详细介绍，老师只是讲了个大概。而在后期专业课中，我们还是被要求会Z变换的，因为Z变

6、换方法是分析LTI离散系统的重要工具。因此，知识是无界的，要想学到更多，除了老师在课堂上所讲的之外，我们课后应该自己去学习。只有有强烈的求知欲，并付诸行动，才能更好的理解并运用所学知识。我们用Z变换方法时，总共可以用三种方法来计算。即级数求和法、部分分式法、留数计算法。而对于较复杂的函数，通常采用部分分式和留数计算法。下面，举一个例子来展示这两种方法的解题思路。例4：求函数的Z变换。解：方法1部分分式法-11-当函数中包2含有零阶保持器的传递函数时，有其中用部分分式法求得。上式可进一步写成方法2留数

7、计算法其中用留数计算法计算，即则注：在用部分分式法和留数计算法时，不参与运算。-11-每一种计算方法都是有自己的特点与缺点的，Z变换也不例外，它也存在它自身的局限性。由此可见，我们掌握的计算方法越多越有利于解题。目前，卷积已成为现代电路与系统分析的重要工具，是研究系统中信号传递规律的关键所在。例5：设信号和如图3所示，试求。图3(b)01(a)220解：对于图中的和，可以分别表示则响应可利用延时性质得到-11-通过卷积的运用，我们在后期专业课中，能较好地解决信号与系统中的问题。推广应用：Fourie

8、r变换与Laplace变换的计算可以使用到科学和工程计算，方便地为我们解决了频谱分析、信号处理等工作。在本专业上的推广应用也很广泛，比如应用于电力工程、通信和自动控制领域以及信号分析、图像处理。Fourier变换应用于频谱分析和信号处理等。频谱分析是对各次谐波的频率、振幅、相位之间的关系进行分析。Laplace变换应用于控制问题。为了更形象化，在此，我通过查阅资料来举例说明。例6：某一反馈和给定输入前馈复合控制系统的结构图如图4所示，图中前馈环节的传递函数，当输入信号