仅直尺做圆外一点做圆切线.docx

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1、圆外一点做圆切线的作图法(仅直尺)利用直尺和圆规过已知圆外一点作这个圆的切线，是一个比较简单的作图问题．但是，如果只利用直尺来完成这个作图问题，想必是中学时候未曾想过的问题事实上这是可以的,下面我们就来说明这样的一个事情:作法：1．作圆的三条割线PEC、PFD、PGH，交点如图示．2．连结DE、CF交于X，连结DG、HF交于Y．3．作直线XY交圆于A、B．4．作直线PA、PB，则PA、PB就是所求作的圆的切线．那么我们接下来就对其进行证明:首先引入两个引理：先给出一个定理引理1：在圆内接六边形ABCDEF中，若AB·CD·EF=FA·BC·DE，则AD、BE、CF相交于一点．证明设AD、BE相

2、交于G，连结FG，并延长FG交⊙O于C＇，再连结BC＇、C＇D．易知△AGB∽△EGD，△C＇GD∽△AGF，△EGF∽△C＇GB.所以有由之可得，即与已知式子相比较得即(1)连结CC’、BD，在园内接四边形BCC’D中，由托勒密定理，得(2)(1)(2),那么可知即从而可知C、C’两点重合，于是AD、BE、CF相交于一点．#注：托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．已知：圆内接四边形ABCD，求证：AC·BD＝AB·CD＋AD·BC．证明：如上图，过C作CP交BD于P，使∠1=∠2，

3、又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC①。又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，AC·DP=AB·CD②①＋②得AC(BP＋DP)=AB·CD＋AD·BC．即AC·BD=AB·CD＋AD·BC．##引理2：过⊙O外一点P，任作两条割线PAB和PCD，分别交⊙O于A、B、C、D，AD、BC相交于E，则点E在自点P向⊙O所引的切线的切点弦上．证明过P作⊙O的切线PM、PN，M、N为切点，并作如图连结线，则易知△PAM∽△PMB，△PCN∽△PND，△PBD∽△PCA，,由上面两式可以得到：得由引理1知AD、B

4、C、MN三线相交于点E．因此，点E在切点弦MN上．#下面证明我们可以用上面提及的方法作出圆的切线．证明就证明而言，此处我们不妨进行逆推得到上述结论设圆的切线PA、PB，由引理知DE、CF与切点弦AB交于一点X,FH、DG与切点弦AB交于一点Y.显然得X、Y、A、B在同一直线上，也即由X、Y两点连线并延长与圆的交点即为圆的切点。证明#小结：此题其实为斯坦纳直尺问题(Steiner'sStraight-edgeProblem)。圆类问题可谓是中学数学的经典，本题中对几何中的一个将单的尺规作图进行深化，难度虽难大大增加，但仍旧未脱离中学数学生的理解范畴在将来我们以后的教学中，完全可以用这类题来激发学

5、生的兴趣或作为课外的趣味知识题。所以，此类题对于我们来说也有掌握的需要，也算是拓宽自己的视野吧……附：马索若尼圆规问题(Macheroni'sCompassProblem):　　证明任何可用圆规和直尺所作的图均可只用圆规作出.斯坦纳直尺问题(Steiner'sStraight-edgeProblem):证明任何一个可以用圆规和直尺作出的图，如果在平面内给出一个定圆，只用直尺便可作出.(此处的两个问题被收录到《100个著名初等数学问题》的第33,34题。) 四边形ABCD是一个正方形，在BC上取一个点M，在CD上取一个点N，使得BM=CN。连接AM、AN，与对角线BD分别交于P、Q两点。求证：B

6、P、PQ、QD三条线段一定能组成一个三角形，并且这个三角形的其中一个角等于60°。 其中一种思路就是，借助一些辅助线，在图中弄出一个含60度的三角形来，并说明它的三边长度就是BP、PQ、QD。但问题的难点就是，我们上哪儿找一个含60度的三角形？在很多平面几何问题中，把图形扩展到三维空间中去，反而会带来意想不到的突破（可以参见这里和这里）。现在，我们又有了一个绝好的例子。如图，作一个边长与正方形相等的正方体A1B1C1D1-A2B2C2D2，在A1B1上截取A1M'=BM，在A1D1上截取A1N'=DN。假设A1B2和A2M'交于点P'，A1D2和A2N'交于Q'。注意到三角形A1B2D2的三条

7、边都相等，因而它是一个等边三角形，∠B2A1D2=60°。如果图中阴影三角形的三边长度分别等于BP、PQ和QD，问题就解决了。显然，A1P'=BP，A1Q'=QD，因此我们只需要说明P'Q'=PQ。容易证明，M'N'=MN，A2M'=AM，A2N'=AN，因此三角形A2M'N'和三角形AMN全等，于是∠M'A2N'=∠MAN。另外，容易看出A2P'=AP，A2Q'=AQ，而刚才我们已经证明了∠M'