2014东莞二模理科数学试题附答案

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1、东莞市2014届高三第二次模拟考试数学（理科）一、选择题：1.已知全集,集合和集合中的元素共有()A．个B．个C．个D．无穷多个2.若复数是纯虚数,则实数的值为()A．B．C．D．或3.已知等差数列的前项和为,且,,则该数列的公差()A．B．C．D．4.已知抛物线()的准线与圆相切,则的值为()A．B．C．D．5.若向量，，则的最大值为（）A．B．C．D．6.已知平面、和直线,给出条件:①；②；③；④；⑤.由这五个条件中的两个同时成立能推导出的是()A．①④B．①⑤C．②⑤D．③⑤7.若变量满足约束条件,则的取值范围是()A．B．C．D．8.对任意实数,定义运算,其中是常

2、数,等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.已知,,并且有一个非零常数,使得,都有,则的值是A.B.C.D.二、填空题：231正视图侧视图图1(一)必做题(9～13题)9.一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图1所示(均为直角三角形)，则该三棱锥的俯视图的面积为.是否开始结束输出图210.二项式的展开式中常数项为_______.11．执行如图2的程序框图，输出的．12.已知函数,则的值等于.13.已知的内角的对边分别为，且,则的面积等于________.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）图314.(坐标系与参数方程选做题)在极坐

3、标系中，直线的方程是，以极点为原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，在直角坐标系中，直线的方程是.如果直线与垂直，则常数．15.(几何证明选讲选做题)如图3,在中,,,若,,,则的长为________．三、解答题：16．(本题满分12分)设函数,．(1)若,求的最大值及相应的的取值集合；（2）若是的一个零点,且,求的值和的最小正周期.17．(本题满分12分)某地为绿化环境，移栽了银杏树2棵，梧桐树3棵.它们移栽后的成活率分别为，每棵树是否存活互不影响，在移栽的5棵树中：（1）求银杏树都成活且梧桐树成活2棵的概率；（2）求成活的棵树的分布列与期望.图4PABCDEF18

4、.(本题满分14分)如图4,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面,且,、分别为、的中点.(1)求证:平面；(2)求证:面平面；(3)在线段上是否存在点,使得二面角的余弦值为?说明理由.19.(本题满分14分)设数满足：．(1)求证：数列是等比数列；(2)若，且对任意的正整数n，都有，求实数t的取值范围．20.(本题满分14分)已知定点,,动点,且满足成等差数列.(1)求点的轨迹的方程；(2)若曲线的方程为(),过点的直线与曲线相切,求直线被曲线截得的线段长的最小值.21.(本题满分14分)已知函数满足如下条件：当时，，且对任意，都有．（1）求函数的图象在点处的切线方

5、程；（2）求当，时，函数的解析式；（3）是否存在，，使得等式成立？若存在就求出（），若不存在，说明理由．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分题号12345678答案BABCADCD二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分9．；10．；11．3；12．；13.；14．；15.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．【解析】(1)当时,，而,所以的最大值为,此时,,即,,∴取最大值时相应的的集合为（2）依题意,即,,整理,得,又,所以,,而,所以,,所以,的最小正周期为.17.【解析】（1）

6、设表示“银杏树都成活且梧桐树成活2棵”设表示“银杏树成活棵”；；；表示“梧桐树成活棵”；；；；（2）可能的取值：；；同理：；；；∴的分布列为：012345∴18.【解析】(1)证明:连结，由正方形性质可知,与相交于的中点,也为中点,为中点.所以在中,//又平面,平面,所以平面(2)证明:因为平面平面,平面面为正方形,,平面,所以平面.又平面,所以.又,所以是等腰直角三角形,且,即.又,且、面,所以面.又面,所以面面(3)取的中点,连结,,因为,所以.又侧面底面,平面平面,所以平面,而分别为的中点,所以,又是正方形,故,以为原点,建立空间直角坐标系,则有,,,,,若在上存在

7、点使得二面角的余弦值为,连结,设,则,由(Ⅱ)知平面的法向量为,设平面的法向量为.则,即,解得令,得,所以,解得(舍去).所以,线段上存在点(),使得二面角的余弦值为.19.【解析】20.【解析】(1)由,,根据椭圆定义知的轨迹为以为焦点的椭圆,其长轴,焦距,短半轴,故的方程为.(2)过点与X轴垂直的直线不与圆相切，故可设:,由直线与曲线相切得,化简得由,解得联立,消去整理得,直线被曲线截得的线段一端点为,设另一端点为,解方程可得,有令,则,考查函数的性质知在区间上是增函数,所以时,取最大值,从而.21.【解析】解：（1）时，