《回归分析》word版

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1、第六章回归分析引言一、变量间的关系1.确定关系(函数关系)如∶正方形的面积与边长的关系、做匀速直线运动的质点的位移与时间的关系等等。2.非确定关系(相关关系)例1．作物的单位面积产量与施肥量的关系。例2．人的体重与身高的关系。例3．人的血压与年龄的关系。例4．某种商品(如糖果)的消费量与居民(按人口计算)的平均收入的关系。共同点∶变量间虽然存在着密切的关系，但从一个变量的每一确定值，不能求出另一变量的确定的值。可是在大量的试验中，这种不确定的联系，具有统计规律性，表现为的一个确定的概率分布定义.设有两个随机变量，对其中某一个变量的每一个可能的值，另一个变量有一个确定的概率

2、分布与之对应。则称这两个随机变量间存在着相关关系。二、回归分析1.回归关系设与之间存在着某种相关关系。其中是可以控制或可以精确观察的变量(如年龄、试验的温度等等)，即，可以随意指定的个值。因此视为普通变量。此时称变量对具有回归关系。21[问题]如何表达变量对的回归关系?回归分析是研究相关(回归)关系的一种数学工具,它能帮助我们从一个变量的取值去估计另外一个变量所取得的值.在各个学科领域得到广泛应用。2.回归分析要解决的一些问题设通过试验或抽样调查得到了和的一组观察值利用这些数据研究与之间的关系，需解决如下几个问题∶(1)如何判断与间是否存在相关关系(或者回归关系)?———

3、—利用样本数据做与的散点图，由散点图的趋势初步判断两者是否有线性关系(2)如何确定与之间的定量关系式(即回归函数)?——————用最小二乘法(3)如何对所确定的关系(回归模型)的可信程度作统计检验?——t分布检验法、相关系数r检验法(4)如何利用所得到与的定量关系式(回归模型)来解决实际问题？————对变量进行预测和控制。下面，将围绕这四个问题展开讨论21§6.1一元线性回归设通过试验或抽样调查得到了和的一组观察值利用这些数据研究与之间的关系。一、散点图利用和的一组观察值在直角坐标系上描点，得到散点图，根据散点图的趋势，来观察和是否想直线关系。如果是，可以考虑建立线性回归

4、模型。例如，下列散点图中，上面两个象直线关系，可考虑对变量和建立线性回归模型。[例1]为研究全国人均国民收入x(元)与人均消费金额y(元)之间的关系，收集到1981—1990年10年的样本数据如下表∶年份19811982198319841985人均国民收入393419461544668人均消费金额24926728932940621年份19861987198819891990人均国民收入738860106911691251人均消费金额451513643699713回归分析解法后面将介绍：(10,757.2,909739.6,455.9,4559,288428.9,39636

5、22,经验线性回归方程为)二、模型(1)其中，、为常数，为普通变量，、21为随机变量，满足，即。—自变量，—因变量，—随机波动项(误差)于是样本满足∶，()(2)假设相互独立，从而满足独立、正态、等方差的前提条件。“确定与之间的定量关系式(即回归函数)”的问题归结为“如何在上述假定下确定、和”的问题。[注1]当、和已知时，由可得对可靠性，于是，的点估计为，误差限为，的置信区间为∶虚线为的95%的置信区间控制线[注2]两类误差实际问题中、和未知的，要通过观测数据进行估计。这样用来预测时，就面临两类误差∶(i)所代表的误差—随机误差，由与的关系的紧密程度决定，与数据()无关。

6、(ii)利用样本()对、和的估计所产生的误差，与数据及数据量的大小有关。21三、最小二乘估计线性回归模型:设，，则的估计值为，残差∶，残差平方和∶它描述了用线性函数来近似表示产生的误差程度。最小二乘原则∶选取和使达到最小。按照这种方法确定的和叫做和的最小二乘估计，这种方法也叫做最小二乘法。l和的最小二乘估计确定关于和二元函数的极值在二阶偏导书为0的点取得：21—正规方程方程两边同除以得其解为——和的最小二乘估计称：为对经验线性回归方程。四、的无偏估计(1)(2)（重要！）记，----对的回归剩余方差,显然，即为的无偏估计。-----对的回归剩余标准差[注]:简化最小二乘估

7、计的计算步骤21记，注意：，，表示样本二阶中心矩。不是样本方差，要注意区分。则，a.将输入计算器，求出和b.将输入计算器，求出、和c.将输入计算器，求出d.计算e.写出经验线性回归方程f.计算，注:实际上，利用具有回归功能的计算器，21输入相关数据后,就可以直接把回归系数求出来,非常方便.要掌握计算器的这个功能。[例2]某林场内随机抽取6块0.08ha大小的样地，测定样地的平均树高与每公顷平均断面积为∶样地号123456平均树高()202224262830断面积()24.326.528.730.531.732.9求:对的一元线