逆推法练习题

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1、⒈有500位学生编成一排，从左到右1、2、3报数，凡报到1和2的离队，报3的留下，象左看齐再重复同样的报数过程，如此进行若干此后，只剩下两位同学。问这两位同学在开始的队列中，从左到右数，分别在第几个？答：⒈最后两人在最开始分别排在第243个和第486个。　　⒉平面上有一条直线，把平面分成两部分，十条直线最多可把平面分成几部分？答：⒉十条直线最多可把平面分成56部分。3.计数问题之递推法例题讲解一　　例题：　的乘积中有多少个数字是奇数？分析与解答：　　如果我们通过计算找到答案比较麻烦，因此我们先从最简单的情况入手。　　9×9＝81，有1个奇数

2、；　　99×99＝99×(100－1)＝9900－99＝9801，有2个奇数；　　999×999＝999×(1000－1)＝99900－999＝998001，有3个奇数；　　……　　从而可知，999…999×999…999的乘积中共有10个奇数。4.　计数问题之递推法例题讲解二　　例题： 分析与解答：　　这道题我们可以采用分别求出每个数的立方是多少，再求和的方法来解答。但是，这样计算的工作量比较大，我们可以从简单的情况开始研究。5.　计数问题之递推法例题讲解三　　例题：2000个学生排成一行，依次从左到右编上1～2000号，然后从左到右按一

3、、二报数，报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的离开队伍，……按这个规律如此下去，直至当队伍只剩下一人为止。问：这时一共报了多少次？最后留下的这个人原来的号码是多少？分析与解答：　　难的不会想简单的，数大的不会想数小的。我们先从这2000名同学中选出20人代替2000人进行分析，试着找出规律，然后再用这个规律来解题。　　这20人第一次报数后共留下10人，因为20÷2＝10，这10人开始时的编号依次是：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20，都是2的倍数。　　第二次报数后共留下5人，因为10÷2＝5，这5人开始时的编号依

4、次是：4、8、12、16、20，都是4的倍数，也就是2×2的倍数。　　第三次报数后共留下2人，因为5÷2＝2……1，这2人开始时的编号依次是：8、16，都是8的倍数，也就是2×2×2的倍数。　　第四次报数后共留下1人，因为2÷2＝1，这1人开始时的编号是：16，都是8的倍数，也就是2×2×2×2的倍数。　　由此可以发现，第n次报数后，留下的人的编号就是n个2的连乘积，这是一个规律。　　2000名同学，报几次数后才能只留下一个同学呢?　　第一次：2000÷2＝1000      第二次：1000÷2＝500　　第三次：500÷2＝250   

5、     第四次：250÷2＝125　　第五次：125÷2＝62……1   第六次：62÷2＝31　　第七次：31÷2＝15……1    第八次：15÷2＝7……1　　第九次：7÷2＝3……1      第十次：3÷2＝1……1　　所以共需报10次数。　　那么，最后留下的同学在一开始时的编号应是：　　2×2×2×…×2＝1024（号）　5.例题： 平面上有10个圆，最多能把平面分成几部分？分析与解答：　　直接画出10个圆不是好办法，先考虑一些简单情况。　　一个圆最多将平面分为2部分；　　二个圆最多将平面分为4部分；　　三个圆最多将平面分为8

6、部分；　　当第二个圆在第一个圆的基础上加上去时，第二个圆与第一个圆有2个交点，这两个交点将新加的圆弧分为2段，其中每一段圆弧都将所在平面的一分为二，所以所分平面部分的数在原有的2部分的基础上增添了2部分。因此，二个圆最多将平面分为2＋2＝4部分。　　同样道理，三个圆最多分平面的部分数是二个圆分平面为4部分的基础上增加4部分。因此，三个圆最多将平面分为2＋2＋4＝8部分。　　由此不难推出：画第10个圆时，与前9个圆最多有9×2＝18个交点，第10个圆的圆弧被分成18段，也就是增加了18个部分。因此，10个圆最多将平面分成的部分数为：　　2＋2

7、＋4＋6＋…＋18　　＝2＋2×（1＋2＋3＋…＋9）　　＝2＋2×9×（9＋1）÷2　　＝92　　类似的分析，我们可以得到，n个圆最多将平面分成的部分数为：　　2＋2＋4＋6＋…＋2（n－1）　　＝2＋2×[1＋2＋3＋…＋（n－1）]　　＝2＋n（n－1）　　＝n2－n＋26.例题：有8块相同的巧克力糖，从今天开始每天至少吃一块，最多吃两块，吃完为止，共有多少种不同的吃法？分析与解答： 7.例题： 4个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，问有多少种传球

8、方法？ 分析与解答：