数学建模竞赛习题

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1、解:问题分析与模型建立：用y表示各位经理人的人寿保险额，用％1表示各位经理人的平均收入，由题目可以得到，经理的年收入和人寿保险额之间存在着二次关系，可以通过画＞，对；^的散点图进行验证。用％2表示各位经理人的风险偏好度，它的数值越大，就越偏爱高风险。现在画出＞，对的散点图，观察各自的变化趋势，进行验证与趋势变化分析。阁1人寿保险额与平均收入的关系003502O2050004—50+I++I+++-±++.+++—+.+I46人寿保险额与风险偏好度的关系观察图1,随着&的增加，y也有明显的线性增长趋势，可以建立线性模型y=/3()+/3lxl观察

2、图2,随易的增加，＞，也随之增大，且向上弯曲趋势增长，可以建立二次函数模型：y=/3{)+^x2+/32xl将上面两点进行结合，建立一个中体的回归模型如下：.V=A)++p2X2+AX2+€以上各式屮，戽,我，尾，从叫做回归系数，％1，12叫做影响＞，的主要因素，主要因素是人能够进行控制的，同时y还受到各种因素的影响，这些是人没有办法进行控制的，称为随机误差，记作r。随机误差可以被看作是一个随机变量，在模型选择合适的情况下，r大致服从均值为零的正态分布。所以，模型可以完整的记做：[eeN(O,(j2)y对回归系数/?()W2，从是线性的，满足线

3、性回归条件，所以建立线性回归模型。模型求解：在matlab中用命令regress解决线性回归问题。使用格式如下：[b,bint,r,rint,stats]=regress(y’，x);其中，b为回归系数A=(/?(),成，房，从)的估计值；bint是b各项的显著水平为6T的置信区间；stats是检验回归模型的统计量。其计算结果如下：b=-113.92724.4587-6.74321.1390bint=-153.5452-74.30914.04344.8739-16.65883.17230.21012.0678stats=0.9920580.52

4、900.000061.5420画出的残差图如下：ResidualCaseOrderPlot24681012141618CaseNumberslenplsafr对数据整理如下:冋归系数冋归系数估计值冋归系数置信区间A-113.9272[-153.5452-74.3091]4.4587[4.04344.8739]A-6.7432[-16.65883.1723]A1.1390[0.21012.0678]R20.9920F580.5290P0.0000表1回归模型数据整理所以回归模型结果为：y=-ll3.9272+4.4582x,-6.7432x2+1

5、.1390x22结果分析：由上表可以看出，/?2=0.9920指因变量;＞，（人寿保险额）的99.20%可以由模型确定；F=580.5290远远大于F检验的临界值；P=0.0000远小于汉=0.05;综上，所建立的模型大致可以反映实际情况。回归系数的置信区间只有/?2的自置信区间包含零点，表明1H］归变量易对因变量y的贡献是不显著的；而凡真爲的置信区间不包含零点，表明回归变量xpx22对因变量＞，的贡献是显著的，所以可以将x2仍保留在模型内，故得模型为：y=-\3.9272+4.4582x,-6.7432x2+1.1390x22现我们可以认定

6、题A屮的假设是成立的，即经理的年收入和人寿保险额之间存在着二次关系，并有把握的认为风险偏好度对人寿保险额有线性效应。模型的改进与分析求解：（1）假设风险偏好度（^）对人寿保险额（y）是否有二次效应，将原模型可以修改为：y=A）+Px++Axi2++e进行模型求解，输出结果如下：b=-60.85130.92304.48290.03600.1138bint=-49.10481.41687.25730.04090.3717-72.59790.42931.70850.0310-0.1441stats=1.0e+003*0.00108.205500.

7、0033将stats中数据转化为长型：stats=0.99968205.503.2905画出的残差图如下：6ResidualCaseOrderPlot24681012141618CaseNumberslenp'cnaQ;数据整理如T:回归系数回归系数估计回归系数置信区间-60.8513[-72.5979-49.1048]A0.9230[0.42931.4168]A4.4829[1.70857.2573]A0.0360[0.03100.0409]A0.1138[-0.14410.3717]尺20.9996F8205P0.0000表2模型改进（1）

8、数据整理由上表可以看出，/?2=0.9996指因变量;V（人寿保险额）的99.96%可以由模型确定；F=8205远远大于F检验的临界值；0000远小于