导数和积分经典例题以与答案解析

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1、高三数学导数与积分经典例题以及答案一.教学内容：导数与积分二.重点、难点：1.导数公式：2.运算公式3.切线，过P（）为切点的的切线，4.单调区间不等式，解为的增区间，解为的减区间。5.极值（1）时，，时，∴为极大值（2）时，时，∴为的极小值。【典型例题】[例1]求下列函数的导数。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。分析：直接应用导数公式和导数的运算法则解析：（1）（2）当时，；当时，，∴（3）（4）（5）（6）[例2]如果函数的图象在处的切线过点（0，）并且与圆C：相离，则点（）与圆C的位置关系。解：∴切过（0，）∴∴与圆相离，∴∴∴点（）

2、在圆内[例3]函数在上可导，且，则时有（）A.B.C.D.解：令∴∴∴∴任取∴即故选C[例4]分别为定义在R上的奇函数、偶函数。时，，则不等式的解为。解：令∴∴奇，偶奇函数∵∴∴解为[例5]已知函数在处取得极值2。（1）求的解析式；（2）满足什么条件时，区间（）为函数增区间；（3）若P（）为图象上任一点，与切于点P求的倾斜角的正切值的取值范围。解：∴∴列表∴（－1，1）↑（1，+∞）↓令∴[例6]（1）在x=1，x=3处取得极值，求；（2）在，且，求证：（3）在（2）的条件下，比较与大小关系。解：（1）∴（2）∴（3）*∵∴∴*式∴[例7]已知抛物线和。

3、如果直线同时是和的切线，称是和的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。（1）取什么值时，和有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；（2）若和有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分。分析：分别利用曲线方程求切线的方程再比较，从而求得满足条件；对于（2）两条公切线段互相平分，也就是两公切线段的中点坐标相同。解析：（1）函数的导数，曲线在点的切线方程是即①函数的导数曲线在点的切线方程是即②如果直线是过P和Q的公切线，则①式和②式都是的方程所以消去得方程若判别式，即时解得，此时点P与Q重合即当时，和有且仅有一条公切线由①得公切线方程为（2）由（

4、1）可知，当时和有两条公切线设一条公切线上切点为，其中P在上，Q在上，则有线段PQ的中点为同理，另一条公切线段的中点也是所以公切线段PQ和互相平分[例8]已知抛物线过点，且在点处与直线相切，求的值。解析：∵∴∵抛物线在点处与直线相切∴，且即又抛物线过点（1，1）∴（3）将（1）（2）（3）联立解得[例9]设函数的图象与轴的交点为P点，且曲线在P点处的切线方程为，若函数在处取得极值为0，试确定函数的解析式。解析：∵的图象与y轴交点为P∴点P的坐标为∵曲线在P点处的切线方程为，故P点坐标适合此方程，将代入后得又切线的斜率为而，∴又函数在处取得极值0∴且即由（

5、1）（2）解得∴[例10]已知曲线。（1）求曲线在点P（1，1）处的切线方程；（2）求曲线过点Q（1，0）的切线方程；（3）求满足斜率为的曲线的切线方程。解析：（1）∵，又P（1，1）是曲线上的点∴P为切点，所求切线的斜率为∴曲线在P点处的切线方程为，即（2）显然Q（1，0）不在曲线上，则可设过该点的切线的切点为，则该切线斜率为则切线方程为（*）将Q（1，0）代入方程（*）得得。故所求切线方程为（3）设切点坐标为，则切线的斜率为解得∴或，代入点斜式方程得或即切线方程为或[例11]已知，函数，设，记曲线在点处的切线为。（1）求的方程；（2）设与x轴交点为，

6、证明：①；②若，则。解析：（1）求的导数：，由此得切线的方程：（2）依题意，切线方程中令①∴当且仅当时等号成立②若，则，，且由①，所以[例12]设函数，其中，求的单调区间。解析：由已知得函数的定义域为，且（1）当时，由知，函数在上单调递减（2）当时，由，解得随x的变化情况如下表：x－0+↓极小值↑从上表可知当时，0，函数在上单调递减当时，，函数在上单调递增综上所述：当时，函数在上单调递减当时，函数在上单调递减，在上单调递增[例13]已知函数在R上是减函数，求的取值范围。分析：因为在R上为减函数，即在R上恒成立，再解不等式即可得解。解析：求函数的导数：（1

7、）当时，是减函数，且所以，当时，由知是减函数；（2）当时，由函数在R上的单调性，可知当时，是减函数；（3）当时，在R上存在一个区间，其上有所以，当时，函数不是减函数综上，所求的取值范围是[例14]设为实数，函数在和上都是增函数，求的取值范围。解析：其判别式（1）若，即当或时，，在上为增函数∴（2）若，恒有，在上为增函数∴即（3）若，即，令解得，当或时，，为增函数当时，，为减函数依题意得由得，解得由得解得从而综上，的取值范围为即【模拟试题】（答题时间：60分钟）1.已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A.3B.2C.1D.2.设，，曲线在点处切

8、线的倾斜角的取值范围为，则到曲线对称轴距离的取值范围是（）A.B.C.D.3.在