专题：比较二次根式大小

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1、专题：比较二次根式大小二次根式是初中数学中的基础知识，也是初中数学学习中的重点内容；而比较二次根式的大小又是二次根式知识中的难点，也是中考和数学竞赛中常见的题型，经常会考到不查表、不求二次根式的值，来比较几个不含分母的二次根式的大小的问题。尽管教材上介绍了比较二次根式大小的几种基本方法，如求近似值法、比较被开方数法等，尽管很多教辅材料中也总结了不少诸如“作差”、“做商”、“有理化”、“取倒数”、“平方”等方法，但许多学生在考试中仍显得力不从心，并不清楚到底什么时候用哪种方法最合适？解答这类题目时缺少方法与对策，以

2、至于无从下手。下面就举例介绍几种比较二次根式大小的有效方法。一、移动因式法将根号外的正因式移入根号内，从而转化为比较被开方数的大小。例1：比较的大小。解：＞∴＞二、运用平方法两边同时平方,转化为比较幂的大小。此法的依据是：两个正数的平方是正数，平方大的数就大；两个负数的平方也是正数，平方大的数反而小。例2：比较与的大小。解：∵，＞0，＞0∴＜三、分母有理化法此法是先将各自的分母有理化，再进行比较。例3：比较与的大小。解：∴＞四、分子有理化法此法是先将各自的分子有理化，再比较大小。例4：比较与的大小解：∵＞∴＞五、

3、求差或求商法求差法的基本思路是：设为任意两个实数，先求出与的差，再根据“当＜0时，＜；当时，；当＞0时，＞”来比较与的大小。求商法的基本思路是：设为任意两个实数，先求出与的商，再根据“①同号：当＞1时，＞；＝1时，；＜1时，＜。②异号：正数大于负数”来比较与的大小。例5：比较的大小。解：∵＜∴＜例6：比较的大小。解：∵＞1∴＞六、求倒数法先求两数的倒数，而后再进行比较。例7：比较的大小。解：∵＞∴＜七、运用媒介法此法是借助中间量（定量或变量）巧妙转换达到直观比较的方法，类似于解方程中的换元法。例8：已知，，试比较

4、的大小。解：设，则，∵＜，∴＜，即＜八、设特定值法如果要比较的二次根式中含有字母，为了快速比较，解答时可在许可的条件下设定特殊值来进行比较。例9：比较与的大小。解：设，则：＝1，＝∵＜1，∴＞九、局部缩放法如果要比较的二次根式一眼看不出有什么特点，又不准求近似值，可采取局部缩放法，以确定它们的取值范围，从而达到比较大小的目的。例10：比较的大小。解：设，∵，7＜＜8，即7＜＜8，8＜＜9，即8＜＜9∴＜，即＜例11：比较与的大小。解：∵＞∴＞十、“结论”推理法通过二次根式的不断学习，不难得出这样的结论：“＞（＞＞

5、0）”，利用此结论也可以比较一些二次根式的大小（结论证明见文末）。例12：比较1与的大小。解：∵，由＞（＞＞0）可知：＞即＞又∵＞∴＞，即1＞总的来说，比较二次根式大小的方法不仅仅局限于以上十种，除此之外诸如移项、拆项法，类比推理法，数形结合法，数轴法，还有假设推理法等等，但不管使用哪种方法，都必须在掌握二次根式的基本性质和运算法则上进行，要根据问题的特征，二次根式的结构特点，多角度地探索思考，做到具体问题具体分析，针对不同问题采取不同的策略，另外还应多做这方面的训练，方能达到熟练而又快捷，运用自如的程度。附：“

6、＞（＞＞0）”。【典题新练】：1、比较与的大小；2、比较与的大小；3、比较与的大小；4、比较与的大小；5、比较与的大小；6、比较与的大小（其中为正整数）；7、设，，试比较它们的大小；8、比较与的大小；9、比较与的大小；10、比较与的大小；11、比较与的大小；12、比较的大小；13、比较与的大小；14、比较与的大小；15、若为正整数，试比较的大小；16、比较的大小；17、比较与的大小。