二次根式大小比较方法

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1、比较二次根式大小的巧妙方法一、移动因式法 将根号外的正因式移入根号内，从而转化为比较被开方数的大小。 例1：比较的大小。解： ＞∴＞二、运用平方法两边同时平方,转化为比较幂的大小。此法的依据是：两个正数的平方是正数，平方大的数就大；两个负数的平方也是正数，平方大的数反而小。 例2：比较与的大小。 解：∵，   ＞0，＞0 ∴＜ 三、分母有理化法此法是先将各自的分母有理化，再进行比较。例3：比较与的大小。 解：     ∴＞ 四、分子有理化法 此法是先将各自的分子有理化，再比较大小。例4：比较与的大小解：∵ ＞ ∴＞ 五、求差或求商法 求差法的基本思路是：设为任意两个实数，

2、先求出与的差，再根据“当 ＜0时，＜；当时，；当＞0时，＞”来比较与的大小。求商法的基本思路是：设为任意两个实数，先求出与的商，再根据“①同号：当＞1时，＞；＝1时，；＜1时，＜。②异号：正数大于负数”来比较与的大小。例5：比较的大小。解：∵       ＜∴＜例6：比较的大小。 解：∵＞1 ∴＞六、求倒数法先求两数的倒数，而后再进行比较。例7：比较的大小。 解：∵  ＞∴＜ 七、设特定值法 如果要比较的二次根式中含有字母，为了快速比较，解答时可在许可的条件下设定特殊值来进行比较。例9：比较与的大小。 解：设，则： ＝1，＝ ∵＜1，∴＞ 九、局部缩放法如果要比较的二次根

3、式一眼看不出有什么特点，又不准求近似值，可采取局部缩放法，以确定它们的取值范围，从而达到比较大小的目的。 例10：比较的大小。解：设，∵，7＜＜8，即7＜＜8    ，8＜＜9，即8＜＜9    ∴＜，即＜ 例11：比较与的大小。 解：∵＞    ∴＞ 十、“结论”推理 通过二次根式的不断学习，不难得出这样的结论：“＞（＞＞0）”，利用此结论也可以比较一些二次根式的大小（结论证明见文末）。 例12：比较1与的大小。解：∵，  由＞（＞＞0）可知：＞即＞ 又∵＞ ∴＞，即1＞总的来说，比较二次根式大小的方法不仅仅局限于以上十种，除此之外诸如移项、拆项法，类比推理法，数形结合

4、法，数轴法，还有假设推理法等等，但不管使用哪种方法，都必须在掌握二次根式的基本性质和运算法则上进行，要根据问题的特征，二次根式的结构特点，多角度地探索思考，做到具体问题具体分析，针对不同问题采取不同的策略，另外还应多做这方面的训练，方能达到熟练而又快捷，运用自如的程度。附：“＞（＞＞0）”的证明。 证明：∵，，        ＞ ∴＞（＞＞0）