比较二次根式大小的巧妙方法

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1、比较二次根式大小的巧妙方法二次根式是初中数学中的基础知识，也是初中数学学习中的重点内容；而比较二次根式的大小又是二次根式知识中的难点，也是中考和数学竞赛中常见的题型，经常会考到不查表、不求二次根式的值，来比较几个不含分母的二次根式的大小的问题。尽管教材上介绍了比较二次根式大小的几种基本方法，如求近似值法、比较被开方数法等，尽管很多教辅材料中也总结了不少诸如“作差”、“做商”、“有理化”、“取倒数”、“平方”等方法，但许多学生在考试中仍显得力不从心，并不清楚到底什么时候用哪种方法最合适？解答这类题目时缺少方法与对策，以至于无从下手。下面就举例介绍几种比

2、较二次根式大小的有效方法。 一、移动因式法 此法好学，适用。就是将根号外的正因式移入根号内，从而转化为比较被开方数的大小。 例1：比较的大小。 解：  ＞ ∴＞ 二、运用平方法 两边同时平方,转化为比较幂的大小。此法的依据是：两个正数的平方是正数，平方大的数就大；两个负数的平方也是正数，平方大的数反而小。 例2：比较与的大小。 解：∵，   ＞0，＞0 ∴＜ 三、分母有理化法 此法是先将各自的分母有理化，再进行比较。 例3：比较与的大小。 解：     ∴＞ 四、分子有理化法 此法是先将各自的分子有理化，再比较大小。 例4：比较与的大小 解：∵  ＞

3、 ∴＞ 五、求差或求商法 求差法的基本思路是：设为任意两个实数，先求出与的差，再根据“当 ＜0时，＜；当时，；当＞0时，＞”来比较与的大小。 求商法的基本思路是：设为任意两个实数，先求出与的商，再根据“①同号：当＞1时，＞；＝1时，；＜1时，＜。②异号：正数大于负数”来比较与的大小。 例5：比较的大小。 解：∵        ＜ ∴＜ 例6：比较的大小。 解：∵＞1 ∴＞ 六、求倒数法 先求两数的倒数，而后再进行比较。 例7：比较的大小。 解：∵  ＞ ∴＜ 七、运用媒介法 此法是借助中间量（定量或变量）巧妙转换达到直观比较的方法，类似于解方程中的换

4、元法。 例8：已知，，试比较的大小。 解：设， 则， ∵＜，∴＜，即＜ 八、设特定值法 如果要比较的二次根式中含有字母，为了快速比较，解答时可在许可的条件下设定特殊值来进行比较。 例9：比较与的大小。 解：设，则： ＝1，＝ ∵＜1，∴＞ 九、局部缩放法 如果要比较的二次根式一眼看不出有什么特点，又不准求近似值，可采取局部缩放法，以确定它们的取值范围，从而达到比较大小的目的。 例10：比较的大小。 解：设， ∵，7＜＜8，即7＜＜8     ，8＜＜9，即8＜＜9    ∴＜，即＜ 例11：比较与的大小。 解：∵＞     ∴＞ 十、“结论”推理法 

5、通过二次根式的不断学习，不难得出这样的结论：“＞（＞＞0）”，利用此结论也可以比较一些二次根式的大小（结论证明见文末）。 例12：比较1与的大小。 解：∵，   由＞（＞＞0）可知： ＞ 即＞ 又∵＞ ∴＞，即1＞ 总的来说，比较二次根式大小的方法不仅仅局限于以上十种，除此之外诸如移项、拆项法，类比推理法，数形结合法，数轴法，还有假设推理法等等，但不管使用哪种方法，都必须在掌握二次根式的基本性质和运算法则上进行，要根据问题的特征，二次根式的结构特点，多角度地探索思考，做到具体问题具体分析，针对不同问题采取不同的策略，另外还应多做这方面的训练，方能达到

6、熟练而又快捷，运用自如的程度。 附：“＞（＞＞0）”的证明。 证明：∵，，        ＞ ∴＞（＞＞0） 【典题新练】： 1、比较与的大小； 2、比较与的大小； 3、比较与的大小； 4、比较与的大小； 5、比较与的大小； 6、比较与的大小（其中为正整数）； 7、设，，试比较它们的大小； 8、比较与的大小； 9、比较与的大小； 10、比较与的大小； 11、比较与的大小； 12、比较的大小； 13、比较与的大小； 14、比较与的大小； 15、若为正整数，试比较的大小； 16、比较的大小； 17、比较与的大小。 【典题新练参考答案】： 1、提示：，，∴

7、＜ 2、提示：平方后再进行比较。 ，， ∴＞ 3、提示：可利用＞（＞＞0）。  ＞，即＞ 4、提示：分母有理化后再进行比较。   ，，＜， ∴＜ 5、提示：分子有理化后再进行比较。     ∵＞，∴＜， 即＜ 6、提示：∵， 其中为正整数，∴＞ 故＜ 7、提示：设， 则：， ∵　＜ 　∴＜，∴＜ 8、平方后再进行比较。 ，，又∵＞，∴＞ ∴＜，∴＜ 9、提示：∵2＜＜3，7＜＜8，∴＜5＜，∴＜ 10、提示：分子有理化后再进行比较。 因为，，而＞ 所以＜，故＜ 11、提示：分别求其倒数后，再进行比较。 ∵， ＞，∴＜ 12、提示：∵，而7＜＜8，∴的

8、整数部分为7。同样可得 的整数部分为8，∴＜ 13、提示：∵＞ ∴＞ 14、提示：平方后再比较大小。 ∵，，