由一个问题而想到的

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1、由一个问题而想到的南京市上元小学许元明问题的提出：在教学《数的整除》这一内容时，学生遇到的一道判断题：1和任何其它整数都是互质数。同学们都认为是对的，在简单的判断纠正之余，我却突然想到一点：任何整数都是1的倍数，1是任何整数的约数，那么1和其它整数的关系就是约数与倍数的关系，怎么又可能是互质数关系呢？难道这两种关系能M吋存在吗？回过头来，先看看互质数的定义：公约数只有1的两个数是互质数。其判断依据是公约数.的企.数。如下图A与B是互质数再看看约数与倍数意义：A能被B整除，A是B的倍数，B是A的约数

2、。其判断依据是能否整_除。这两种关系的判断标准不一样，其结果不一样是肯定的。但是如果用公约数的个数作为标准来判断两个数是否约数与倍数关系呢？如下图：A的约数当A的约数全包含B的约数吋，A与B的公约数就是B的约数，A肯定能被B整除，A就是B的倍数，B就是A的约数，A与B也就是约数和倍数的关系了。当统一了判断依据（公约数的个数）之后，1与A的关系就出现了矛盾。1与A的公约数只有1，所以1与A互质，1与A的公约数就是1的所有约数，所以1是A的约数，A是1的倍数。此两种关系并存了，不符合唯一性。问题如何解

3、决？道路有两条：1、回避这一叫题实质，仍然认为这是两种不M标准判断，保持现状。2、抓住这一问题实质，研究探讨，促使这一A容更加科学合理。选择后者，需要一定勇气，但这是一个必为之举，不容退缩。下面想谈-种解决方法。耍点：将两个判断依据统一为“公有的质因数的个数”。定义h没有公有质因数的两个数是互质数。如下图八的质因数B的质因数A与B是互质数例：A=2X3X5B=7XnX13A与B是互质数定义2:如果A与B公有的质因数就是B的质因数，那么A是B的倍数,B是A的约数。如图:例：A=2X3X5；B=2X3

4、X5XB1XB2XB3那么A是B的约数,B是A的倍数。这样，这两种关系就用一种标准统一定义了。理论分析：以质因数的个数为依据，因为1没有质因数，从而将1巧妙的排除在外（与将1排除在质数，合数之外相同），从而排除两个矛盾的结论。这样做更好吗？1、分解质因数的方法是巾大数学家高斯提出，经过数学家实践证明的一种好方法。应用这一方法来解决数论问题不但是在应用这一方法，也能在教学中突出这一方法，加强学生对这一方法的学习、应用。例如后面在研究两个数的最大公约数与最小公位数吋，还要先研究•一个数的倍数、约数与它

5、的质因数的关系。2、由集合图的改变证明这一分法更加科学。原图1八的约败B的约败原图2现图1A的质因数现图2根据两种集合之间的关系只有三种：相离关系、包含关系、相交关系。很容易看出：现图1是相离关系，原图1不是相离关系，而且一定可以找到相交关系。即:例：A=2X3X5B=2X5X7A和B是相交关系。三种关系都现实存在，而且都不矛盾。因此这是一种更科学的分法。3、对两个数之间的关系的研究更加科学。如下图：两个整数A和B最大公约数(a,b)最小公倍数[a，b]方法互质数关系例：8和711aXb8X7=5

6、6直接可算相交关系例：8和10可以找，也可以算约数，倍数关系例：8和16小数8大数16直接找从以上图表可以看出，两个数的最人公约数、最小公倍数只冇在两个数是相交关系时，j冇用分解质因数方法的需要，而且在后面通分或找公分母吋，学生还不用这种方法，而是动脑用“大数翻番”的方法找两个数的最小公倍数。4、为系统整理这一单元A容増添了一种思路。如下：★一个整数：存什么特征？A：能否被别的数整除例如：能否被2、3、5整除。奇、偶性。B：能否分解，质数还是合数，合数可以分解，质数无需分解。★两个整数：有什么关系

7、？A、互质数关系、相交关系、约数，倍数关系B、两个整数的最大公约数，最小公倍数★三个整数：有什么关系？A、两两互质……B、三个整数的最大公约数，最小公倍数......这样的结构，是线性的；可以无限发展。比原有树状结构更加清晰明了。5、问题：这一方法会带来一个不容回避的M题：1与A到底是什么关系？我想这需要一个共同的约定：1是任意一个整数的单位。这一思想如何操作：简单说要做到下面几点1、保留“约数、倍数的意义”教材。2、突出质因数与倍数、约数的关系这一内容。3、突出公有质因数与公约数、公倍数的关系这

8、一内容。4、更改“互质数的意义”教材。下面阐述：1、保留“约数、倍数”的现有教材。这一点似乎没什么好说的。但是也必须说明几点，首先，数论的起源来自整数除法的溢出，这一点是无法改变的历史，可以说整除是数论这座人厦的基础，其重要性是无法替代的，而整除作为约数、倍数的关系的判定，依据是简单而直接的，无需更改。而且也须保留公约数、最大公约数、公倍数、最小公倍数的意义。2、突出质因数与倍数，约数的关系这一內容。保留了约数、倍数的这一内容，但是却又耍将约数、倍数这一关系的意义转变到公有质因数上