例说分类讨论方法在初中数学中的应用

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1、例说分类讨论方法在初中数学中的应用　　摘要：在研究数学问题中常常需要通过分类讨论解决问题，本文从渗透在教材中的分类思想出发，结合例题阐述了分类讨论的思想方法中分类的原则、分类讨论的步骤和分类讨论的应用，体现分类讨论思想在初中数学解题中的作用和地位。　　关键词：分类讨论思想；原则；步骤；初中数学中的分类讨论；分析；评注　　在我们的数学学习中，常遇到同一问题出现不同情形的情况，处理此类问题，需要我们对问题按类别分出几种不同的情况，然后逐一加以解决.这种解决问题的方法体现的就是我们数学中的分类讨论思想.本文拟对初中数学分类讨论方法通过例题作一研究和分析，以飨读者。　　一、分类讨

2、论的原则　　解决分类讨论问题，必须弄清楚分类的方法和原则，要考虑研究对象的特征，依据问题出现的不同情形，划分为不同类型加以分析和研究.一般来说，分类时必须遵循以下原则：一是分类中的每个分支是相互独立的，不能有重复情况出现；二是分类时标准要统一，不能有遗漏情况出现；三是分类讨论应逐级进行。　　二、分类讨论的步骤　　第一、确定研究对象的整体范围；第二、确定分类标准，合理地进行分类；第三、逐级对所分类别进行讨论，获取阶段性结果；第四、综合各级结果，得出最终结论。　　三、初中数学中的分类讨论　　初中数学分类讨论的知识点有三大类：一是代数类。如绝对值、方程及根的定义，函数的定义以及

3、点（坐标不确定）所在象限等.二是几何类.如各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等.三是综合类：代数与几何类分类情况的综合运用。下面通过一些例题来说明初中数学中常见的几种分类讨论思想。　　（一）根据绝对值的几何意义进行分类讨论　　例1.如果

4、x

5、=2015，

6、y

7、=4，且x

8、x

9、=2015，所以x=2015或x=-2015；　　因为

10、y

11、=4，所以

12、y=4或y=-4；　　由于x

13、于等腰三角形的腰与底不确定而进行的分类　　例4.在直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（1，1）在坐标轴上确定点P，使得△AOP为等腰三角形，则符合条件的P点共有8个。　　分析：由于等腰三角形的腰与底不确定，往往存在三种情况，这里体现了分类讨论的思想，△AOP的三边两两分别相等，①OA=OP，②AO=AP，③PO=PA，这个过程需要在备用图中试画“两圆一线”。只有画出来才能求出来，所以这一步在整个问题中是相当关键的，注意不要重复和遗漏。　　（三）根据相似三角形中的隐含条件进行分类讨论　　1.针对对应边不确定而进行的分类　　例5.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一

14、个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值为　　解析：当直角边为6，8时，且另一个与它相似的直角三角形3，4也为直角边时，x的值为5，当8，4为对应边且为直角三角形的斜边时，x的值为，故x的值可以为5或.两种情况。　　2.针对应角不?_定而进行的分类　　例6.如图3，∠A=50°，∠B=60°，一直线l与△ABC的边AC、AB边相交于点D、E两点，当∠ADE为多少度时，△ABC与△ADE相似。　　分析：显然∠C=70°，∠A是△ABC和△ADE的公共角，如果∠ADE等于∠C或∠B，那么△ABC与△ADE相似.　　解：（1）当∠ADE=∠C=70°时，△ABC∽

15、△AED.　　（2）当∠ADE=∠B=60°时，△ABC∽△ADE.　　所以当∠ADE等于70°或60°时△ABC与△ADE相似.　　3.针对图形的位置不确定而进行的分类　　例7、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t<6），连接DE，当△BDE与△ABC相似时，t的值为2或3.5或4.5。　　分析：由Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，可求得AB的长，由