欢迎来到天天文库
浏览记录
ID:17671337
大小:24.50 KB
页数:5页
时间:2018-09-04
《分类讨论数学思想例说》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、分类讨论数学思想例说 摘要:分类讨论思想是初等数学中的一种重要的数学思想,它是必备的数学素养,是思维广阔的要求,也是思维深刻性、批判性的基础。分类讨论的数学思想中,分类的过程可培养学生的周密性、条理性,而讨论的结果则培养了学生的观察、分析、比较、概括等能力。 关键词:数学思想分类讨论典型例题 所谓数学思想,是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中,经过思维活动而产生的结果。数学思想是人们对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识;数学思想是学生必须具备的基本数学素养,是数学的灵魂,通过数学思想的培养,数学的能力才会有一个大幅度的提高。掌
2、握数学思想,就是掌握数学的精髓。常见的数学思想有:函数与方程、数形结合、分类讨论、整体和部分、化归和转化、隐含条件、类比思想、建模思想、归纳推理。 一、分类讨论思想在中学数学中的地位 分类讨论是把所要演算的数学对象划分为若干不同的情形,然后再分别进行研究和求解的一种数学思想,相关的习题具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点,难度有易、有中,也有难,题型可涉及很多种题型,知识领域方面可以渗透到每个数学知识领域。它一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题,另一方面恰当的分类可避免丢值漏解,从而提高全面考虑问题的能力,提高周密严谨的数学素养。其本质是“
3、化整为零,积零为整”。 二、需要分类讨论的情形 1.涉及的数学概念是分类定义的(如
4、x
5、的定义,P点分线段的比等)。 2.公式、定理、性质或运算法则的应用范围受到限制。 3.几何图形中点、线、面的相对位置不确定。 4.数学问题本身的条件和结论有多种情况或多种可能性。 5.数学问题中含有参变量,这些参变量的不同取值会导致不同结果。 三、分类讨论的原则 1.分类标准统一,明确对象,层次分明。 2.所分保证分类不遗漏,不重复。 3.分层、不越级讨论,有时要对分类结果进行整合概述。 四、分类讨论的一般步骤 1.明确对象的全体。 2.确
6、定分类标准,科学分类。 3.逐类讨论。 4.归纳小结,得出结论。 五、分类讨论在例题中的应用 第一类:根据参数在允许范围内的不同取值(或取值范围),去探求命题可能出现的结果,然后归纳出命题的结论。 例1.解关于x的不等式loga(x2-x-2)>loga(2x-2)(a>0且a≠1)。 对数函数y=logax的单调性是由01两种情况给出的,所以在解底数为参数的对数不等式时,应对底数01进行分类讨论。 解:当0 x2-x-2<2x-200x220x>1 当a>1时,原不等式等价于 x2-
7、x-2>2x-2x3 x2-x-2>0x2x>3 2x-2>0x>1 综上所述,当01时,原不等式的解为(3,+∞)。 上例是根据数学中的定理、公式和性质来确定分类标准的。数学中的某些公式、定理、性质在不同条件下有不同的结论,在运用它们时,就要进行分类讨论,分类的依据是公式的条件。 第二类:给定命题的结论,去探求参数的取值范围或参数应满足的条件。 例2.已知不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对x∈R恒成立,求实数a的取值范围。 此题易错点在于默认该不等式为一元二次不等式,导致忽略了二项式系数为0的情况。在题目没有说明的情况下,应
8、对二项式系数进行分类讨论,即按a-2=0或a-2≠0两种情况来讨论。 解:当a-2=0时,即a=2, 原不等式变为-4<0,对于x∈R恒成立, 故a-2=0满足条件, 当a-2≠0时,即a≠2, 要使不等式对x∈R恒成立,则须 a-2<0a<2 4(a-2)2-4(a-2)?(-4)<0-2 综上所述,a的取值范围是-2 此题同样是利用数形结合、函数思想、分类讨论等数学思想来解题,可见分类讨论并不是独立存在的,所以要掌握好数学思想,才能在解题中游刃有余。 由以上几个例子,可以看出分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得简单,思路清晰,
9、步骤明了。且在讨论过程中,可以激发学生学习数学的兴趣。 分类讨论是一种重要的数学思想方法,是一种数学解题策略,对于培养学生思维的严密性、严谨性和灵活性,提高学生分析问题和解决问题的能力无疑具有较大的帮助。对于何时需要进行分类讨论,要视具体问题而定,并不是死的规定,但可在解题时不断地总结经验。例如并不是问题中一出现参数问题就一定要分类讨论,有时结合利用数形结合、函数与方程等思想可避免或化简分类讨论。从而达到迅速准确解题的效果。在解答数学问题时,许多问题不仅在涉及的知识范围上带有较强的综合性,而且就问题本身来说也受到多种条件的交叉制约,形成错综复杂的局面
10、,很难从整体上加以解决。这时就需要从分割入手,把整体划分为若干个局部,转而去解决局部问题,最后
此文档下载收益归作者所有