分类讨论数学思想例说

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1、分类讨论数学思想例说　　摘要：分类讨论思想是初等数学中的一种重要的数学思想，它是必备的数学素养，是思维广阔的要求，也是思维深刻性、批判性的基础。分类讨论的数学思想中，分类的过程可培养学生的周密性、条理性，而讨论的结果则培养了学生的观察、分析、比较、概括等能力。　　关键词：数学思想分类讨论典型例题　　所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是人们对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；数学思想是学生必须具备的基本数学素养，是数学的灵魂，通过数学思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高。掌

2、握数学思想，就是掌握数学的精髓。常见的数学思想有：函数与方程、数形结合、分类讨论、整体和部分、化归和转化、隐含条件、类比思想、建模思想、归纳推理。　　一、分类讨论思想在中学数学中的地位　　分类讨论是把所要演算的数学对象划分为若干不同的情形，然后再分别进行研究和求解的一种数学思想，相关的习题具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点，难度有易、有中，也有难，题型可涉及很多种题型，知识领域方面可以渗透到每个数学知识领域。它一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题，另一方面恰当的分类可避免丢值漏解，从而提高全面考虑问题的能力，提高周密严谨的数学素养。其本质是“

3、化整为零，积零为整”。　　二、需要分类讨论的情形　　1.涉及的数学概念是分类定义的（如

4、x

5、的定义，P点分线段的比等）。　　2.公式、定理、性质或运算法则的应用范围受到限制。　　3.几何图形中点、线、面的相对位置不确定。　　4.数学问题本身的条件和结论有多种情况或多种可能性。　　5.数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同结果。　　三、分类讨论的原则　　1.分类标准统一，明确对象，层次分明。　　2.所分保证分类不遗漏，不重复。　　3.分层、不越级讨论，有时要对分类结果进行整合概述。　　四、分类讨论的一般步骤　　1.明确对象的全体。　　2.确

6、定分类标准，科学分类。　　3.逐类讨论。　　4.归纳小结，得出结论。　　五、分类讨论在例题中的应用　　第一类：根据参数在允许范围内的不同取值（或取值范围），去探求命题可能出现的结果，然后归纳出命题的结论。　　例1.解关于x的不等式loga（x2-x-2）>loga（2x-2）（a>0且a≠1）。　　对数函数y=logax的单调性是由01两种情况给出的，所以在解底数为参数的对数不等式时，应对底数01进行分类讨论。　　解：当0　　x2-x-2<2x-200x220x>1　　当a>1时，原不等式等价于　　x2-

7、x-2>2x-2x3　　x2-x-2>0x2x>3　　2x-2>0x>1　　综上所述，当01时，原不等式的解为（3，+∞）。　　上例是根据数学中的定理、公式和性质来确定分类标准的。数学中的某些公式、定理、性质在不同条件下有不同的结论，在运用它们时，就要进行分类讨论，分类的依据是公式的条件。　　第二类：给定命题的结论，去探求参数的取值范围或参数应满足的条件。　　例2.已知不等式（a-2）x2+2（a-2）x-4<0对x∈R恒成立，求实数a的取值范围。　　此题易错点在于默认该不等式为一元二次不等式，导致忽略了二项式系数为0的情况。在题目没有说明的情况下，应

8、对二项式系数进行分类讨论，即按a-2=0或a-2≠0两种情况来讨论。　　解：当a-2=0时，即a=2，　　原不等式变为-4<0，对于x∈R恒成立，　　故a-2=0满足条件，　　当a-2≠0时，即a≠2，　　要使不等式对x∈R恒成立，则须　　a-2<0a<2　　4（a-2）2-4（a-2）?（-4）<0-2　　综上所述，a的取值范围是-2　　此题同样是利用数形结合、函数思想、分类讨论等数学思想来解题，可见分类讨论并不是独立存在的，所以要掌握好数学思想，才能在解题中游刃有余。　　由以上几个例子，可以看出分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得简单，思路清晰，

9、步骤明了。且在讨论过程中，可以激发学生学习数学的兴趣。　　分类讨论是一种重要的数学思想方法，是一种数学解题策略，对于培养学生思维的严密性、严谨性和灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力无疑具有较大的帮助。对于何时需要进行分类讨论，要视具体问题而定，并不是死的规定，但可在解题时不断地总结经验。例如并不是问题中一出现参数问题就一定要分类讨论，有时结合利用数形结合、函数与方程等思想可避免或化简分类讨论。从而达到迅速准确解题的效果。在解答数学问题时，许多问题不仅在涉及的知识范围上带有较强的综合性，而且就问题本身来说也受到多种条件的交叉制约，形成错综复杂的局面

10、，很难从整体上加以解决。这时就需要从分割入手，把整体划分为若干个局部，转而去解决局部问题，最后