三角函数恒等变换练习题与答案解析详解

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1、WORD文档下载可编辑　两角和与差的正弦、余弦、正切1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换；2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键．知识点回顾1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ　(Cα－β)cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β　(Cα＋β)sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β　(Sα－β)sin(α＋β

2、)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β　(Sα＋β)tan(α－β)＝　(Tα－β)tan(α＋β)＝　(Tα＋β)2．二倍角公式sin2α＝；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝.3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如Tα±β可变形为tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)，tanαtanβ＝1－＝－1.4．函数f(α)＝acosα＋bsinα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值

3、唯一确定．[难点正本　疑点清源]三角变换中的“三变”(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．热身训练1．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝－，则的值为_______．专业资料分享WORD文档下载可编辑2．函数f(x)＝2sinx(sinx＋cosx)的单调增区间为________

4、______________．3．(2012·江苏)设α为锐角，若cos＝，则4．(2012·江西)若＝，则tan2α等于(　　)A．－B.C．－D.5．(2011·辽宁)设sin(＋θ)＝，则sin2θ等于(　　)A．－B．－C.D.典例分析题型一　三角函数式的化简、求值问题例1　(1)化简：·；(2)求值：[2sin50°＋sin10°(1＋tan10°)]·.在△ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tan＋tan＋tantan的值为________．题型二　三角函数的给角求值与给值求角问题例2　(1)已知0<β<<α<π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋

5、β)的值；专业资料分享WORD文档下载可编辑(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，求2α－β的值．已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β.题型三　三角变换的简单应用例3　已知f(x)＝sin2x－2sin·sin(1)若tanα＝2，求f(α)的值；(2)若x∈，求f(x)的取值范围．专业资料分享WORD文档下载可编辑已知函数f(x)＝sin＋2sin2(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值时x的集合．利用三角变换研究三角函数的性质典例：(12分)(2011·北京)已知函数f(x)＝4cos

6、x·sin－1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．专业资料分享WORD文档下载可编辑总结方法与技巧1．巧用公式变形：和差角公式变形：tanx±tany＝tan(x±y)·(1∓tanxtany)；倍角公式变形：降幂公式cos2α＝，sin2α＝；配方变形：1±sinα＝2,1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2.2．利用辅助角公式求最值、单调区间、周期．由y＝asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)(其中tanφ＝)有≥

7、y

8、.3．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角

9、、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．4．已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化．5．熟悉三角公式的整体结构，灵活变换．本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握