微分中值定理应用初探

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1、皖西学院本科毕业论文（设计）微分中值定理应用初探论文题0姓名（学号）系别专业导师姓名InquiryTheApplicationofThedifferentialtheoremofmean理系数学与应用数学二o—一年四月微分中值定理应用初探摘要：本文首先介绍了微分三大中位定理以及它们之间的关系，然后论述了微分中值定理在研究函数性质，求极限，求近似值和在实际生活中的应用。关键词：中值定理联系应用InquiryTheApplicationofThedifferentialtheoremofmeanAbstract：Thisarticlehasdiscussedthediffe

2、rentialtheoremofmeangeometrysignificanceandtheinnerlinkthoroughly;Thesystemsummarizeddifferentialtheoremofmeaneachkindofapplication;Introducedthestructureauxiliaryfunctioncreatestheconditionapplicationdifferentialtheoremofmeansolutionactualproblemthemethod;Alsohasfurtherexpoundedthediffe

3、rentialtheoremofmeanimportancefromthetheoryandtheactualtwoangles.Keywords：Differentialtheoremofmean;Using;Proof;Inferentialreasoning微分中值定理是微分学的基本定理之一，是沟通函数与其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研宄函数整体性的重要数学工具.应用十分广泛。1、微分中值定理及其几何意义1.1罗尔(Rolle)中值定理：若函数f满足如下条件：(i)f在闭区间［a,b］上连续；(ii)f在开区间(a,b)内可导;(iii)/(6Z)=/(Z7

4、),则在(6Z,/7)内至少存在一点f使得no⑴证明：因为/在闭区间上连续,所以奋最大值与最小值，分别用A/，m表示，现分两种情况来讨论：(1)若爪=从，则/在［6Z，/?］上必为常数,从而结论显然成立。⑵若m

5、b］上连续；(ii)f在开区间(a，b)内可导，则在0，/?)内至少存在一点f使得(2)b-a证明：作辅助函数=/(%)/0)~/(a)(x-6Z)b-a显然，F⑻=F(/O=o,且F在［^糾上满足罗尔定理的另两个条件故3fe(6Z,/?)，使b-a移项后即得所要证明的(2)式。拉格朗日公式还有下而三种等价表示形式：/(/?)-f(a)=/’(《)(/?-6/),a<^

6、在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB(图2)。1.3柯西｛Cauchy)中值定理：设函数/和满足：(i)在上都连续；(ii)在(a，b)上都可导；(iii)f’(x)和g’(x)不同时为零;则在(各灼内至少存在fe(ci，b)，使得/(《)8(b)-g(a)(iv)g(a)g(b),i正明：刪函数勝彻-炯⑷)，易见F在［〃，叫上满足罗尔定理的条件,故存在《e(〃,/?)，使得因为gz(^)0(否则由上式=0)，所以可把上式改写成⑶式。此定理有着与前两个中值定理相类似的儿何意义，只是要把这W个函数写作以X为参量的参数方程xe[a,b].在⑻v平而上表示一段曲线，由于(

7、3)式右边的側―M表示连接该曲线两端g(b)-g(a)点的弦AB的斜率，而(3)式左边的f'《)=dvdu，则表示该曲线上与x=f相对应的一点P(g(0，/(0)处的切线的斜率。因此(3)式即表示上述切线与弦AB互相平行(图3)。1.4泰勒公式若函数f(x)在开区间(a，b)有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于(x-x.)的多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f’(x.)(x-x.)+f’’(x.)/2!•(x-x.厂2,+f’’’(x.)/3!•(x-x.)3+•••…+f(n)(x.)/n!•(x-x