数值分析(计算方法)期末试卷3及参考答案

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1、江西理工大学大学2010至2011学年第一学期试卷题号—-二三四五七八九十总分得分谋程数值分析年级、专业试卷(A)二计算(60分)1.已知列表函数y=/(x)X1234y0一5一63一填堃(毎S3分，共30分)1.用公式/U)之/(X。)+f(x0)(x-x0)+yU—X。)2进行近似计算，这吋所产牛的误差称为O2.设/(0)=0,/(1)=10，/(2)=20,则过这三个点的二次插值基函数1(又)=,4(又)=’/[0,1]=。3.用来求数值积分的梯形公式的代数精度是。4.设/(X)可微，求方程x2=/(

2、X)根的Newton迭代格式为o5.设3=(0,一5,0，1)，贝1JlPlli=，9=，(2d=;设4=，贝。^54®丨页(;lp〈3页)江丙理：丄大学教务处试求满足上述插值条件的3次Newton插值多项式N人x)，并写出插余项。(10分)牛顿插值公式是：NH(x)=f(xQ)+f[x(),xi](x-x())+f[x^xl,x2](x-xf)Xx-xi^试卷(A)3.设初值问题=3x^2yy(o)=10

3、的参数使艽代数精度尽可能高.并求岀其代数精度。（2）已知该求积公式余项/?[/]=^巧），^（0，1），试求出余项屮的参数k0写出用改进的Euler法解上述初值问题数值解的公忒，养/z=0.2,求解JpA，保留两位小数。（10分）f¥.4.用Newton迭代法求方程/(*)=%3+2x—5=0的实根，x0=1.5,要求

4、a^+1-xJJ<10_4o(10分)江两理工人学教务处•架.5.已知方程组S^3x,4-2x2+x3=5*2xl+2x2=3%,+x3=4(1)写111用Jacobi迭代法和Gauss-Se

5、idel迭代法解此方程的公式;。(2)求ill用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解该方程组的迭代矩阵.外判断用Gauss-Seidel迭代法求解该方程组的收敛性。(15分)试卷A)江两理工大教务处三.证明(10分)求^(67〉0)的十.顿迭代法为及+

6、=-(X,+—),试证明对任2xk意的迭代初值〉0,该迭代法所产生的迭代序列是单调递减序列，同吋证明该迭代法足收敛的。填空（每空3分参考答案1.4.截断误差-/’⑹共30分）2.2），生或25.6，5，V26,9103.1计算所以，要求的Ne

7、wton插值为:=x3-4x2+31.构造重节点的差商表:nXy一阶二阶三阶01012-5-523-6-12343951N3(x)=-5(x-1)+2(%—1)(x—2)+(x-1)(x—2)(x-3)插值余项是：/?w=(x-1)2(x-2)或：R(x)=f[x,1,2,3,4](x-l)(x-2)(x-3)(x-4)1.(1)解：/U)=l时，左=也=1，右=4+4，左=右得：4+A=1/(x)=x时，左=£f(x)dx=丄，右=5()+A,，左=才=1得：B()+A,=丄f(x)=又2时，左=L/{x)

8、dx=丄，右=A，左=右得：4=丄联立上述三个方程，解得：Aj=p50=7^A=去363/(叉)=又3时，左=£/(又＞/¥=丄，右=4=丄，左/右所以，该求积公式的代数精度是2(2)解：过点0，1构造/(x)的Hermite插值//2(%)，因为该求积公式代数精度为2，所以有H2(x)dx=4H2(o)+a,h2(o)+b()h2(o)=a)/(o)+4/(1)+b。/(o)其求积余项为：W)=J*/⑻也-[4/(0)+养/⑴+Bo/'(O)]=J1f(x)dx-JH2(x)

9、xno~72所以，k=—i721.解：改进的Euler公式是：yn+i=yn^hf(xn,yn)'h_X,+i=X,+/(^+pX,+.)]具体到本题中，求解的公式是：=X：+0.2(3x„+2x,)=1.4x,+0.6

10、,=1.34286,x2=].37012,^=1.32920,x4=1.32827,x5=1.32826

11、x5-x4

12、=0.00001<10-4x5=1.32826所以，方程的近似根5.解，Jacobi迭代公式是:Gauss-Seidel迭代公式是:k+(2)设其系数矩阵是A，将A分解为：A=D-L-U，其中，300^，000><0-2-1D=020，L=-200，"二0000b、一100><00