剩余类环上的多项式环及因式分解和可约性毕业论文

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1、2014届本科毕业生毕业论文题目：剩余类环Z2上的多项式环及因式分解和可约性学院：专业班级学生姓名:指导教师:答辩日期：大学教务处目录1弓IWi2群，环的相关理论错误！未定义书签。2.1交换群，环的定义错误！未定义书签。2.2多项式环22.3剩余类环和模为2的剩余类环的证明32.4剩余类环上的多项式环53剩余类环上的因式分解及可约性53.1模为2的剩余类环上多项式环的的冈式分解，可约不可约性54结"i仑10隱11参考文献115女i射12剩余类环Z2上的多项式环及因式分解和可约性摘要：给出群，交换群，环的定义，可逆元的判定；证明剩余类环22为环，构造剩余类环上的多项式环，给出

2、剩余类环Z2上的多项式环的因式分解及判断可约性。关键字：环；剩余类环；剩余类环上的多项式环；多项式环的因式分解•，多项式环的可约性。Factorizationofpolynomialringandtheresidueclassringz2decompositionandreducibilityAbstract:Thispaperpresentsgroup,abeliangroups,rings,determinationofinvertibleelements;provetheresidueclassringring,polynomialringoverresiduecla

3、ssrings,giventheresidueclassringringofpolynomialsfactorizationanddeterminethereducibility.Keywords:ring；residueclassring；polynomialringoverresidueclassrings；theringofpolynomialsfactorization；polynomialringreducibility.1引言19世纪以及整个20世纪里，人们建立并发展了众多的代数理论，其中对群，环，域等代数结构的研究获得了巨大的成功，使得代数成为20世纪最活跃的

4、数学学科。在1930年与1931年，荷兰数学家范徳瓦尔登先后出版了两卷本的德文专著ModerneAlgebra（近世代数）[1]。目前，近世代数的理论，思想与方法已经浸透到数学的许多领域，并成为整个现代数学的主要组成部分。模H的剩余类环的问题不仅在近世代数中占宥重要地位,也在解决生活实际问题吋有一定的应用，学者们就对各种环进行了深入系统的的研究，并开辟了许多新的研究领域，取得了许多有意义的研究成果。模/I剩余类环就是其中研究比较透切的一种特殊的环。模的剩余类环为宥限可换环，整环及域都提供了丰富的例证但其性质散见于各种论著之中。然而，在高等代数里我们已经看到，全体整数对于数的

5、加乘做成一个环。本文我们进一步讨论整环，多项式环，模为2剩余类环，模为2的剩余类环上的多项式环的因式分解及可约性。2群，环的相关理论2.1交换群，环的定义，可逆的判定2.1.1群，交换群定义4[2]设G是非空集合，在G上冇一个代数运算，叫做乘法，对G的任意两个元“，6,其运算的结果称为（3与的积，记为c=如果还满足2.冇单位元匕使得6^=6^=6/，/“£（73.对每个6/eG，书beG，使ab=ba=e，b称为6Z的一个逆元.则称G力一个群.当群G的运算满足交换律吋，成G为交换群，这吋也常把其运算记成加法,并称它是一个加(法)群(注意加群中零元相当于乘法群屮的单位元，而

6、负元相当于乘法群中的逆元)[2]。2.1.2环的定义定义[3]—个集合尺叫做一个环.假如1.尺是一个加群，换句话说，尺对于一个叫做加法的代数运算来说做成一个交换群；2.穴对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的；3.这个乘法适合结合律；a{be)={ab)c不管6Z,/?，C是7?的哪三个元；4.两个分配律成立：+=ab+ac(b+c)a=ba+ca不管6Z，/?，C是7?的哪三个元.2.2多项式环假定氏是一个宥单位元的交换环，是&的子环，并且包括氏的单位元。我们在氏里取出一个元X来，那么&QxQ+a}x]+...+anxn=aQ+...+anxnR)定义⑸—个可以写成％+“

7、

8、+••…+anxn(6zz.e/?,z2>0)形式的表达式，称为/?上的工的一个多项式。义叫做多项式的系数。现在我们把所有的上的X的多项式放在一起，作为一个集体，这个集合我们用wW来表示.我们要注意，对于m