多项式剩余类环上循环码新的表示

《多项式剩余类环上循环码新的表示》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、维普资讯http://www.cqvip.com2006年12月应用数学与计算数学学报第20卷第2期DeC．，2006COMM．ONAPPL．MATH．ANDCOMPUTVb1．20NO．2多项式剩余类环上循环码新的表示张莉娜钱建发安徽理工大学数理系，淮南，232001摘要t在编码理论中，多项式剩余类环是非常有意义的，它已经用来构造最优频率希望序列。本文，定义了多项式剩余类环上循环码的离散傅立叶变换及Mattson—Solomon(MS)多项式，证明了多项式剩余类环上的循环码同构于多项式剩余类环的Galois扩

2、张的理想．关键词t循环码，多项式剩余类环，离散傅立叶变换1．引言循环码是一类最重要的纠错码，目前利用纠错码降低各类数字通信系统以及计算机存贮和运算系统中的误码率，提高通信质量，延长计算机无故障运行时间等，都有着非常重要的作用．近年来，环上码的研究成为编码理论工作者研究的一个热点，文献[1】中，Calderbank和Sloane给出了循环码在环上的结构。Wan在文献[2】中将这一结果推广到Galois环上而在文献[3】中，Bonnecaze在+uF2环上给出了循环码的结构。文献【4】给出了循环码在+uF2环上的译

3、码．本文作者在文献【7】中，描述了循环码在多项式剩余类环+u+⋯+uk1上的结构。本文，继续研究多项式剩余类环++⋯+上的循环码，即定义循环码的离散傅立叶变换及Mattson—Solomon(MS)多项式，给出多项式剩余类环上循环码另一种表示方式．2．基本概念通常的多项式剩余类环是指R=[ul／(w(it))，这里k>1，P是任意素数，而w(u)是上次数为m1的不可约多项式。有限环++⋯+irk-1是多项式剩余类环中当w(it)=的特殊情况。本文考虑的多项式剩余类环即为有限环++⋯+，记R=++⋯+．定义1R上

4、长度为n的线性码称为循环码，足指如果c：(C0，c一，Cn-1)∈C，那么C循环移位得到的C=(C一1，CO，⋯，Cn-2)∈C．令兄为R的环多项式，通过模从到有自然同态，(，厂)=r(modit)，r∈R，把这个映射自然地扩展至R[x】到[xl，(∑n∥)=∑(rt)扩=EF~x。，∈，本文2005年3月14日收到．安徽省自然科学基金项目(03042201)维普资讯http://www.cqvip.com1l8应用数学与计算数学学报20卷仍用西表示．定义2设首项系数为一的多项式h(x)∈R[z】，如果西(^(

5、))为上不可约多项式，则称h(x)为R[z1上基本不可约多项式．o设h(x)是R上首项系数为一的r次基本不可约多项式，则R的维数为r的GMois扩张，表示为GR(R，r)R／(())．类似于Galois域，GR(R，r)是由r唯一决定的，GR(R，r)的单位群记为GR(R，r)，则GR(R，r)=Gc×GA，其中Gc是阶为P一1的循环群，而Ga是阶为p(k-D的Ablian群．设f∈GR(R，r)是本原的P一1次单位根，T={0，1，f，⋯，fp)，那么GR(R，r)中任何元素OL能唯一表示为：=1+UOL2+

6、⋯，+k-1，∈T定义Frobenius映射，如下：．厂()=+g+···+uk-1￡由有限环理论【61可知，GR(R，r)的Galois自同构群是由，生成的次数为r的循环群．3．主要结论选择正整数r，使得包含几次本原单位根，则GR(R，r)中也包含n次本原单位根．定义3P模几的分圆陪集足指集合cl(t，几)={i，ip，⋯，p％)，其中m为使pmt三i(modn)成立的最小正整数．记mt=Icl(，n)l，I为尸模n的分圆陪集代表的完全集合。定义4设c=(Co⋯．，cn-1)∈R”，定义C的离散傅立叶变换为向

7、量(，⋯，一1)∈GR(R，r)”，其中对0i几，=c()=∑cj5”．j=o定义C的Mattson—Solomon(MS)多项式为c(z)=∑—iZi．容易验证，G∈GR(R，mi)，且对i有p=．定理1(反转公式)如果C=(CoCl，⋯，C一)∈R的MS多项式为c(z)，那么1Ct：-C(5)，’．其中0t≤n一1．证明对于Otn一1，n一1c(5)=∑c(5)ni=0维普资讯http://www.cqvip.com2期张莉娜，钱建发：多项式剩余类环上循环码新的表示119故定理得证．引理1如果c()，Ct(

8、)∈R／(n一1)，(z)，C(z)分别为它们的MS多项式，那么有：1．c(X)+c()的MS多项式为(z)+C(z)．2．c()c(X)(modX一1)的Ms多项式为：==n一】∑∑(z)(z)=∑zi=1∑(+记为多∑项式的卷积运算)．矾证明由定义4可知，结论显然成立．1令为所有变换向量{，C1，⋯，Cn一1)∈GR(R，r)的集合，且对所有的i，有a=．在中定义对加法和乘法的卷积