剩余类环 上的多项式环及因式分解和可约性 毕业论文

《剩余类环 上的多项式环及因式分解和可约性 毕业论文》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、2014届本科毕业生毕业论文题目：剩余类环上的多项式环及因式分解和可约性学院：专业班级学生姓名：指导教师：答辩日期：大学教务处目录1引言12群，环的相关理论12.1交换群，环的定义12.2多项式环22.3剩余类环和模为2的剩余类环的证明32.4剩余类环上的多项式环53剩余类环上的因式分解及可约性53.1模为2的剩余类环上多项式环的的因式分解，可约不可约性54结论10附录11参考文献11致谢12剩余类环上的多项式环及因式分解和可约性摘要：给出群，交换群，环的定义，可逆元的判定；证明剩余类环为环，构造剩余类环上的多项式环，给出剩余类环上的多项式环的因式分解

2、及判断可约性。关键字：环；剩余类环；剩余类环上的多项式环；多项式环的因式分解；多项式环的可约性。FactorizationofpolynomialringandtheresidueclassringdecompositionandreducibilityAbstract:Thispaperpresentsgroup,abeliangroups,rings,determinationofinvertibleelements;provetheresidueclassringring,polynomialringoverresidueclassrings,g

3、iventheresidueclassringringofpolynomialsfactorizationanddeterminethereducibility.Keywords:ring；residueclassring；polynomialringoverresidueclassrings；theringofpolynomialsfactorization；polynomialringreducibility.1引言19世纪以及整个20世纪里，人们建立并发展了众多的代数理论，其中对群，环，域等代数结构的研究获得了巨大的成功，使得代数成为20世纪最活

4、跃的数学学科。在1930年与1931年，荷兰数学家范徳瓦尔登先后出版了两卷本的德文专著ModerneAlgebra(近世代数)[1]。目前，近世代数的理论，思想与方法已经浸透到数学的许多领域，并成为整个现代数学的主要组成部分。模的剩余类环的问题不仅在近世代数中占有重要地位,也在解决生活实际问题时有一定的应用,学者们就对各种环进行了深入系统的的研究，并开辟了许多新的研究领域，取得了许多有意义的研究成果。模剩余类环就是其中研究比较透切的一种特殊的环。模的剩余类环为有限可换环，整环及域都提供了丰富的例证但其性质散见于各种论著之中。然而，在高等代数里我们已经看

5、到，全体整数对于数的加乘做成一个环。本文我们进一步讨论整环，多项式环，模为剩余类环，模为的剩余类环上的多项式环的因式分解及可约性。2群，环的相关理论2.1交换群，环的定义，可逆的判定2.1.1群，交换群定义4[2]设是非空集合，在上有一个代数运算，叫做乘法，对的任意两个元，其运算的结果称为与的积，记为,如果还满足1.结合律:,.2.有单位元,使得,3.对每个,有,使,称为的一个逆元.则称为一个群.13当群的运算满足交换律时，成为交换群，这时也常把其运算记成加法，并称它是一个加（法）群（注意加群中零元相当于乘法群中的单位元，而负元相当于乘法群中的逆元）[

6、2]。2.1.2环的定义定义[3]一个集合叫做一个环.假如1.是一个加群，换句话说，对于一个叫做加法的代数运算来说做成一个交换群；2.对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的；3.这个乘法适合结合律；不管是的哪三个元；4.两个分配律成立：不管是的哪三个元.2.2多项式环假定是一个有单位元的交换环，是的子环，并且包括的单位元。我们在里取出一个元来，那么定义[5]一个可以写成形式的表达式，称为上的的一个多项式。叫做多项式的系数。现在我们把所有的上的13的多项式放在一起，作为一个集体，这个集合我们用来表示.我们要注意，对于，所以当我们只看的有限个多项式的时候，

7、可以假定这些多项式的系数都是一样的。因此，的两个元相加相乘适合以下公式：这里这两个式子告诉我们，对于加法和乘法来说都是闭的。由于我们也有-所以是一个环。显然是包括和的最小子环。定义[5]叫做上的的多项式环。2.3剩余类环的定义和模为的剩余类环的证明2.3.1剩余类环的定义本小节给出了剩余类环的定义，为证明模的剩余类为环提供了理论基础。给了一个环和的一个理想[附录]若我们只就加法来看，作成一个群，作成的一个不变子群。这样的陪集作成的一个分类。我们现在把这些类叫做模的剩余类。这个分类相当于的元间的一个等价关系这个等价关系现在我们用符号来表示[9]。定理1[

8、9]假定是一个环，是它的一个理想，是所有模13的剩余类做成的集合。那么本身也是一个环，并且与同