高三数学不等式的证明教学设计16

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1、高三数学不等式的证明教学设计1664不等式的证明II一、明确复习目标1掌握反证法、数学归纳法和放缩法的一些策略技巧；2了解换元法、判别式法、数形结合、构造法，了解不等式证明方法的多样性和灵活性提高分析问题,解决问题的能力二．建构知识网络1反证法：正难则反否定结论，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论正确。2放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小,利用不等式的传递性证明不等式常用的放缩手法有：①添加或舍去一些项，如：；；②将分子或分母放大（或缩小）③利用基本不等式，绝对值不等式,a2≥0等;④若a>b>0,>

2、0,则3换元法：换元的目的是减少不等式中的变量，或者化繁为简常用的换元有三角换元和代数换元换元法必须注意新变元的取值范围4构造法：通过构造函数、方程或几何图形,利用相关知识证明不等式；数学归纳法法:证明与正整数有关的不等式6利用函数的单调性利用单调函数中自变量大小与函数值之间的联系要特别重视这种方法,因为高考中常把不等式综合在函数、数列或其它数学问题之中。三、双基题目练练手1已知a、b是不相等的正数，x=，=，则x、的关系是()Ax＞B＞xx＞D不能确定2设=a+（2＜a＜3），N=lg（x2+）（x∈R），那么、N的大小关系是A＞N

3、B=N＜ND不能确定3（200春北京）若不等式（－1）na＜2+对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是()A［－2，）B（－2，）［－3，）D（－3，）4在等差数列{an}与等比数列{bn}中，a1=b1＞0，a2n+1=b2n+1＞0（n=1，2，3，…），则an+1与bn+1的大小关系是____________若a＞b＞，则+_______（填“＞”“=”“＜”）6记S=，则S与1的大小关系是_________简答:1-3BAA;3当n为正偶数时，a＜2－，2－为增函数，∴a＜2－=当n为正奇数时，－a＜2+，a＞－2－而－2

4、－为增函数，－2－＜－2，∴a≥－2故a∈［－2，）答案：A4an+1=≥==bn+1答案：an+1≥bn+1a＞b＞，（+）（a－）=（+）［（a－b）+（b－）］≥4∴+≥＞答案：＞;6S<1四、经典例题做一做【例1】已知a，b∈R，且a+b=1求证：证法一：比较法，作差消b,化为a的二次函数。也可用分析法、综合法，反证法，实质与比较法相同。证法二：（放缩法）∵∴左边＝＝右边证法三：（均值换元法）∵，所以可设，，∴左边＝＝右边当且仅当t=0时，等号成立点评：形如a+b=1结构式的条，一般可以采用均值换元证法四：（判别式法）设

5、=(a+2)2+(b+2)2，由a+b=1，有，所以，因为，所以，即故◆温馨提示:注意体验不等式证明方法的灵活性和各种证明方法间的内在联系【例2】（1）设，且，求证：；（2）设，且，求证：【证明】（1）设则，=。（2）设，∵，∴。于是。【例3】已知a＞1，n≥2，n∈N*求证：－1＜证法一：要证－1＜，即证a＜（+1）n令a－1=t＞0，则a=t+1也就是证t+1＜（1+）n∵（1+）n=1++…+（）n＞1+t，即－1＜成立证法二：设a=xn，x＞1于是只要证＞x－1，即证＞n联想到等比数列前n项和=1+x+…+xn-1>n∴

6、＞n【例4】已知(1)求f(x)的单调区间；(2)求证：x>>0,有f(x+)<f(x)+f();（3）若求证：解:（1）对已知函数进行降次分项变形,得,（2）∵∴而另法:⑶∴点评：函数与不等式证明的综合题在高考中常考常新,是既考知识又考能力的好题型,在高考备考中有较高的训练价值【研讨欣赏】数列｛an｝满足a1=1且an+1=（n≥1）（1）用数学归纳法证明：an≥2（n≥2）；（2）已知不等式ln（1+x）＜x对x＞0成立，证明：an＜e2（n≥1），其中无理数e=271828…．证明:（1）①当n=2时，a

7、2=2≥2，不等式成立．②假设当n=（≥2）时不等式成立，即a≥2（≥2），那么a+1=≥2．这就是说，当n=+1时不等式成立．根据①、②可知：a≥2对所有n≥2成立．（2）由递推公式及（1）的结论有an+1=≤，（n≥1）两边取对数并利用已知不等式得lnan+1≤ln+lnan≤lnan+．故lnan+1－lnan≤，（n≥1）．上式从1到n－1求和可得lnan－lna1≤++…++++…+=1－++…=1－+1＜2，即lnan＜2，故an＜e2（n≥1）．五．提炼总结以为师1．高考中一般不出现单一的不等式的证明题

8、，常常与函数、数列、三角、方程综合在一起，所以，除掌握常用的三种方法外，还需了解其他方法，如函数的单调性法、判别式法、换元法（特别是三角换元）、放缩法以及数学归纳法等2．总结所学不等式证明的方法：同步练习64不等式的证明