高三数学不等式的证明课件.ppt

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1、不等式的证明复习回顾双向沟通练习总结数学组马迪证明不等式的主要依据1a-b>0a>b,a-b<0a0,b>0)(4)≤≤≤(a,b∈R,且a>0,b>0)(5)a2+b2+c2≥ab+bc+ac不等式的证明方法主要有：比较法综合法分析法反证法、换元法、放缩法判别式法、构造法典例分析例1、已知：a,b∈R求证：a2+b2+ab+1>a+b证法一:2(a2+b2+ab+1)-2(a+b)=a2+b2+2ab+a2-2a+1+

2、b2-2b+1=(a+b)2+(a-1)2+(b-1)2>0.∴a2+b2+ab+1﹥a+b.证法二:a2+b2+ab+1-a-b=a2+a(b-1)+b2-b+1把a作变元,Δ=(b-1)2-4(b2-b+1)=-3b2+2b-3=-3(b-)2-<0.∴a2+b2+ab+1﹥a+b.证法三：a2+b2+ab+1-a-b=a2+a(b-1)+b2-b+1=(a+)2+(b-)2+>0.∴a2+b2+ab+1﹥a+b.例2、已知a,b,c,d都是实数，且a2+b2=1,c2+d2=1,求证:∣ac+bd∣≤1huanzongbifen证法1:

3、（换元法）a2+b2=1,c2+d2=1.可设a=cosα,b=sinα,c=cosβ,d=sinβ,∣ac+bd∣=

4、cosαcosβ+sinαsinβ

5、=

6、cos(α-β)

7、≤1.证法2:(综合法)∣ac+bd∣≤∣ac∣+∣bd∣≤+==1证法3:(比较法)显然有∣ac+bd∣≤1-1≤ac+bd≤1.先证ac+bd≥-1,∵ac+bd+1=ac+bd++=ac+bd++=≥0,∴ac+bd≥-1.再证ac+bd≤1,∵1-(ac+bd)=+-(ac+bd)=+-ac-bd=≥0,∴ac+bd≤1.综上得∣ac+bd∣≤1证法

8、4（分析法）要证∣ac+bd∣≤1,只需证(ac+bd)2≤1.即只要证a2c2+2abcd+b2d2≤1.由于a2+b2=1,c2+d2=1,因此上式等价于a2c2+2abcd+b2d2≤(a2+b2)(c2+d2)即证(ad-bc)2≥0,而(ad-bc)2≥0显然成立.故∣ac+bd∣≤1.练习1、已知a>b>c,求证：+2.已知：x﹥0,y﹥0,z﹥0,求证：+>x+y+z.+>3、已知x>0,求证：总结(1)不等式的方法是多种多样的，要根据不等式的特点选择适当的方法。(2)一些不等式证明之前要先做必要的变形，然后再与熟知或证明过

9、的不等式进行联想、类比，从而选择最佳证法。