应用柯西不等式解决数学问题的实例

《应用柯西不等式解决数学问题的实例》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、应用柯西不等式解决数学问题的实例柯西不等式历史悠久、形式完美、结构巧妙，在许多数学领域都有广泛应用。通过学习柯西不等式，提高学生本身的数学探究能力、创新能力、实践能力等，以求进一步开阔学生的数学视野，培养学生的创新思维、激发学生的学习兴趣、提高学生的数学素质。　　柯西不等式的内容：设a1,a2,……，an;b1,b2,……,bn为两组实数，并且ai≠0,(i-1,2,……,n)，则　　(a1b1+a2b2+……+anbn)2(a21+a22+……+a2n)(b21+b22+……+b2n)　　当且仅当b1a1=b

2、2a2=……=bnan时等号成立。　　柯西不等式将两列数中各项乘积的和与和的乘积巧妙的结合在一起，准确抓住其数字结构特征、深刻认知其数字结构内在关系、拟形构造其数字结构形式，可以使许多复杂的问题简单化。　　一、利用柯西不等式证明有关不等式〖HTSS〗　　【例1】已知a、b、c、d为实数，求证：(a4+b4)(a2+b2)≥(a3+b3)2.　　分析：显然不等式两边我们可以利用多项式乘以多项式，展开上式的两边然后再比较大小，但计算量比较大。如果注意到这个不等式的形式与柯西不等式的一致性，借助柯西不等式去证就非常容易了。　　证明：(a4+b4)(a

3、2+b2)=［(a2)2+(b2)2)］(a2+b2)(a2•a+b2•b)2　　=(a3+b3)2　　评注：既避开繁杂的计算，又解决了问题。可见柯西不等式是一个非常重要的不等式，巧妙的应用它，可以使类似问题迎刃而解.　　【例2】已知a、b、c、d为实数，证明不等式：.　　a2+b2+c2ab+bc+ac.　　分析：常规方法我们可以借助三个基本不等式a1+b22ab，　　b2+c22bc，a2+c22ac相加得证，但注意到它形式的特点，我们可以巧用柯西不等式。　　证明：(a2+b2

4、+c2)(b2+c2+a2)(ab+bc+ac)2　　开方：即a2+b2+c2ab+bc+ac.　　评注：构造柯西不等式，简洁明了，一步到位！〖BP）〗　　二、利用柯西不等式求最值〖HTSS〗　　【例2】已知5x2+6y2=1，求2x+3y的最大值.　　分析：欲利用柯西不等式解此题，需要构造已知条件5x2+6y2=1。　　解：(2x+3y)2≤［(2〖KF(〗5〖KF)〗)2+3〖KF(〗6〖KF)〗)2］［(〖KF(〗5〖KF)〗x)2+(〖KF(〗6〖KF)〗y)2］〖JP〗　　=〖JB((〗45+96〖JB))〗(5x

5、2+6x2)=2310，开方即有2x+3y≤〖KF(〗230〖KF)〗10，所以〖KF(〗230〖KF)〗10为其最大值　　评注：不难发现已知的方程是椭圆x215+y216=1的方程，我们可以借助椭圆的参数方程：x=〖KF(〗15〖KF)〗cosα且y=〖KF(〗16〖KF)〗sinα将所求问题转化成三角问题去求解；也可以想到设2x+3y=k，然后借助直线2x+3y=k与椭圆5x2+6y2=1有公共点这一条件去求解，但上述两方法都很麻烦.而利用柯西不等式更简洁，易懂。　　本题也可变式为：已知2x+3y=1求5x2+6y2最小值。同样可用柯西不等式求解。

6、　　〖BP（〗【例4】求y=5〖KF(〗x-1〖KF)〗+〖KF(〗10-2x〖KF)〗的最大值.　　分析：利用题中隐含条件(〖KF(〗x-1〖KF)〗)2+(〖KF(〗5-x〖KF)〗)2=4构造柯西不等式。　　解：∵(5〖KF(〗x-1〖KF)〗+〖KF(〗2〖KF)〗〖KF(〗5-x〖KF)〗)2(52+〖KF(〗2〖KF)〗2)(〖KF(〗x-1〖KF)〗2+〖KF(〗5-x〖KF)〗2)　　=27×4=148　　∴y=5〖KF(〗x-1〖KF)〗+〖KF(〗2〖KF)〗〖KF(〗5-x〖KF)〗〖KF(〗148〖KF)〗=6〖KF(〗3〖K

7、F)〗，　　当且仅当〖KF(〗2〖KF)〗〖KF(〗x-1〖KF)〗=5〖KF(〗5-x〖KF)〗时等号成立，即x=12727时ymax=6〖KF(〗3〖KF)〗.　　评注：在上述运用柯西不等式解决问题的过程中让我们真切地感受到了它的简洁、对称的美感。〖BP）〗　　三、利用柯西不等式推导点到直线的距离公式〖HTSS〗　　【例3】已知点P1(x0,y0)及直线l:Ax+By+C=0(A2+b2≠0)　　设点P(x1,y1)是直线l上的任意一点，则P1,P2