平面直角坐标系的伸缩变换在椭圆中的应用

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1、平面直角坐标系的伸缩变换在椭圆中的应用：教师们在平时的上课中应该多元化的分析问题，从不同的角度对问题进行解剖，寻找不同的解决问题的方法，并学会在相关知识点之间进行衔接与交汇，让学生所拥有的知识形成有序的知识X络。同时教师在教学中应不失时机地抛出适当的问题，以问题带动学生的自主学习，从而提高学习的有效性与知识的应用性，也培养了学生的应用能力。　　关键词：数学；教学案例；有效性教学　　：G633.6：B：1672-1578（2010）11-0152-02　　　　1、案例主题　　平面直角坐标系的伸缩变换这一内容在教学大纲中的教学安排为一个课时，在考试说明中的要求是了解平面直角坐标系伸缩变换作

2、用下平面图形的变化情况，在历次的高考中对于这部分内容从不做独立考查。这一内容给学生的印象是直观性较强，但严谨地证明与运用较为困难。那么在平时的教学中对于这节内容是简单地带过，还是深入地了解呢？在如今，新课标所倡导的教学目标理念之下，我认为教师可以根据学生的不同情况，采用因材施教、抛砖引玉的方式进行教学，让不同的学生得到不同的发展。　　2、案例描述　　在今年高三的复习教学中，我就遇到一个好的契机—在布置课外选做题作业时有这么一道题，是2007年重庆高考选择题的第12题，题目如下：　　已知F1（-2，0），F2（2，0）为焦点的椭圆与直线l:x+3y=0有且仅有一个交点，则该椭圆的长

3、轴长为（）。　　A：32B：26C：27D：42　　本题是道题干较为简单的圆锥曲线问题，易于上手。两个班共交进来的83份作业，经统计结果分析如下：　　有65名学生直接由条件出发，设椭圆的长半轴为a，从而得出椭圆的方程x2a2+y2a2-4=1，然后将直线的方程x+3y+4=0代入椭圆方程中，消去字母x（y）得到y（x）的一元二次方程，再借助"△=0"来建立a的方程，最后得到正确的选项。此法为常规思路，易于想到，但在计算过程中存在着较大的计算，在用此法的65名学生中有程度稍好些的19名同学会将x2a2+y2a2-4=1中的a2用其它字母如t来替换以减少计算量，而余

4、下46名学生应用常规思路与方法，结果能完整做对的仅有28名，余下的18名学生都由于盲目计算从而出现了半途而废或计算错误的情况；另有18名学生注意到该题的题型为道选择题，故而采用代入验证法，逐一验证选项，也可以得到正确的答案，但要重复进行同样的运算，花费相当的篇幅与时间。　　在第二天上平面直角坐标系的伸缩变换练习课的课堂上，我就这一题目先用常规方法及验证法做了讲评，接着提出问题：“除了以上所采用的方法外，是否还有其它有效的解法呢？”班上的同学立刻三五成群地讨论开来，五分钟过后，当我问道谁还有其它不同的解法时，班上却鸦雀无声，接着我在多媒体的屏幕上打出了开篇语—平面直角坐标系的伸缩变换在椭

5、圆中的应用，一些学生若有所悟地“噢”了一下。这时，我再不失时机地说：“大家心里一定有疑问吧！怎么能利用平面直角坐标系的伸缩变换来解决这个问题呢？那么我给大家的回答是肯定的，当然解决这个问题之前，我们还必须先来掌握两个知识点。”　　知识点一：在椭圆x2a2+y2b2=1，(a＞b＞0)上任取点M（x，y）经平面直角坐标系的伸缩变换公式x/=xay/=yb的变换得到单位圆x2+y2=1上相应的一点M（x/，y/）。　　知识点二：直线l与圆锥曲线C在平面直角坐标系伸缩变换公式之下得到新的直线l1与圆锥曲线C/，则新的直线和新的圆锥曲线C/的位置关系与原直线l和圆

6、锥曲线C的位置关系相同。　　上述两个知识点易于证明，这里就不做详细地证明了，现将知识点一与知识二结合起来，于是就得到了以下的结论。　　结论（一）：直线l：Ax+By+C=0与椭圆C：x2m2+y2n2=1，（m＞n＞0）相切时满足：A2m2+B2n2=C2　　。　　证明：利用平面直角坐标系的伸缩变换公式x/=xmy/=yn可将椭圆C：x2m2+y2n2=1，（m＞n＞0）　　变换成圆C/：x/2+y/2=1，直线l：Ax+By+C=0经坐标轴伸缩变换公式x/=xmy/=yn变换为：l/：Amx/+Bny/+C=0，　　由于原直线

7、l：Ax+By+C=0与椭圆C：x2m2+y2n2=1，（m＞n＞0）相切，利用知识点二可知：变换后的直线l/：Amx/+Bny/+C=0与圆C/：x/2+y/2=1的位置关系也为相切，　　则圆C/的圆心到直线l/：Amx/+Bny/+C=0的距离为1，得：d=＝｜C｜(Am)2+(Bn)2=1，　　即A2m2+B2n2=C2，目标得证。　　该结论的特征明显，且具有一定规律性，易于记忆，