平面直角坐标系中的伸缩变换.doc

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1、平面直角坐标系中的伸缩变换（1）内容安排的意图平面几何图形的伸缩变换是常见的几何变换。将图形看成是点的运动轨迹，并在平面直角坐标系中用方程表示它，那么图形的伸缩变换就可以归结为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换。因此，本小节内容可以让学生从一个新的角度体会坐标法思想。“坐标法”解析几何学习的始终，同学们在不断地体会“数形结合”的思想方法并自始至终强化这一思想方法。（2）概念引出方式1、从代数角度研究“伸缩变换”比较抽象，学生一般不容易理解。因此，教科书以学生熟悉的正弦型曲线的图形伸缩变换为例，通过讨论由正弦曲线y＝sinχ得到曲线y＝sinωχ和y＝Asinχ的过程中曲

2、线上点的坐标的变化规律，从具体到一般、从直观到抽象地引出伸缩变化的概念，并概括出“伸缩变换”的表示，给出伸缩变换的定义。建立伸缩变化与函数图像变换之间的联系，可以是伸缩变换概念的学习建立在学生已有经验基础上，使得平面直角坐标中的坐标伸缩变换的学习具有坚实的基础。坐标伸缩变换与前面学的坐标平移变换都是将平面图形进行伸缩平移的变换，本质是一样的。应注意：通过一个表达式，平面直角坐标系中坐标伸缩变换将与的伸缩变换统一成一个式子了，即我们在使用时，要注意对应性，即分清新旧。Y【例1】（2005年江苏）圆O1与圆O2的半径都是1，

3、O1O2

4、=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、

5、PN（M、N分别为切点），使得PM=PN，试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程。【例2】在同一直角坐标系中，将直线变成直线，求满足图象变换的伸缩变换。分析：设变换为可将其代入第二个方程，得，与比较，将其变成比较系数得【解】，直线图象上所有点的横坐标不变，纵机坐标扩大到原来的4倍可得到直线。【点评】求满足图象变换的伸缩变换，实际上是让我们求出变换公式，我们将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数可得了。（3）概念教学中要注意的问题有正弦曲线y＝sinχ得到曲线y＝sinωχ的过程，在三角函数中描述为“正弦曲线y＝sinχ任意一点，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的？”，这

6、是在做出函数y＝sinωχ的图像后，通过观察、直观而得到的。本书中，借助如何从正弦曲线y＝sinχ得到曲线y＝sin2χ的讨论，引导学生从平面直角坐标系内点及其坐标的对应关系的角度进一步思考“保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1/2的实质”。这是一个关键步骤教学中要注意给学生充分的思考时间，并先让学生自己写出坐标对应关系；然后指出实际上这就是一个平面直角坐标系中的压缩变换，是对三角函数中描述的函数图像变化的严格的代数表示。【解题能力测试】1、已知（的图象可以看作把的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的倍（纵坐标不变）而得到的，则为（）A．B.2C.3D.2.在同一直角坐标系

7、中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线则曲线C的方程为（　　）A．B.C．D.3.∆ABC中，若BC的长度为4，中线AD的长为3，建立适当的坐标系，求点A的轨迹方程。4．在同一平面坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线，求曲线C的方程并画出图象。【潜能强化训练】1．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。（1）（2）。2，已知点A为定点，线段BC在定直线上滑动，已知

8、BC

9、=4，点A到直线的距离为3，求∆ABC的外心的轨迹方程。知识要点归纳】（1）以坐标法为工具，用代数方法研究几何图形是解析几何的主要问题，它的特点是“数形结合”。（2）能根据问题建立适当的

10、坐标系又是能否准确解决问题的关键。（3）设点P（x,y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点P(x,y)对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换。