非其次热传导方程的求解问题

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1、非其次热传导方程的求解问题有限区间上的热传导方程与分离变量法??{O?x?l?O?t?T}u(x?t)使它满足我们将用分离变量法在矩形上，求一个函数热传导方程ut?a2uxx?f(x?t)?0?x?l?0?t?T?及初始条件u?t?O??(x)?O?x?l?和边界条件u?x?0??l(t)?u?x?l??2(t)?0?t?T?这里假定函数f(x,t},?(xb?l(x),?2(x)都是连续的，且满足相容性条件：?(0)??1(0)??(1)??2(0)如同讨论波动方程的情形一样，这里泛定方程和定解条

2、件都是线性的，所以混合问题可由以下定解问题?ut?a2uxx?0??ut?a2uxx?f(x?t)0?x?l?t?00?x?l?t?0?(I)(II)?u??OO?x?IO?x?l?u?t?O??(x)??t?O?u??u??0?t?0?u??u??0t?0x?0x?lx?l??x?0?ut?a2uxx?00?x?l?t?0(III)?O?x?l?u?t?O?O?u???(t)?u???(t)t?Ox?l2?x?01叠加而成.因此，如果函数ul,u2,和u3分别是定解问题(I)、(n)、(III)的

3、解，则原定解问题的解就可写成u?ul?u2?u3?对于定解问题(I)我们可用分离变量法求解，假定解的形式为代入(I)中的方程，得T?(t)X??(x)?????2aT(t)X(x)于是有T?(t)?a2?T(t)?0?(2.13)X??(x)??X(x)?O?(2.14)X(x)应满足边界条件先考虑方程(2.14),由(I)中的边界条件推知，X(O)=O,X(I)?O(2.15)??0特征值问题(2.14M2.15)方有非平凡解，此时特征值?取值为只有2?n???n????n?l?2???1?与其相

4、对应的特征函数为n?xXn(x)?Bnsin?I再将(2.16)代入方程(2.13)，得a2n2?2T?(t)?T(t)?0?2I它的解是n2?2a2?tl2Tn(t)?Cne(2.18)于是，所有函数n2?2a2?tn?xl2u(x?t)?X(x)T(t)?Aesin?n?l?2?nnnnI都是满足问题(I)屮的方程及边界条件的非平凡解，其屮An?BnCn为任意常数为了求出问题(I)的解，考虑级数n2?2a2??2tn?xu(x?t)?Anelsinln?l满足初始条件?n?xu(x?O)?Ans

5、in??(x)?In?l?(x)可在[0?l]上展成以这时只要2ln?xAn??(x)sindxlOI为系数的正弦Fourier级数即可.现在将(2.20)代入(2.19),我们就得到混合问题(I)的形式解为n2?2a2??t2ln??n?xl(2.21)u(x?t)?(?(?)sind?)esin?Olln?llu(x?t)确实是问题(I)的解.下面我们证明由(2.21)定义的函数?(0)??(1)?0定理5.3设，则由级数(2.21)定义的函数就是混合??Cl([0?l])且,问题(I)的解.M

6、证先证明形式解(2.21)满足方程.由于从而有界，于是存在正常数?(，x)?Cl([0?l])使得？，故对任意的，to?o当t?to时有An??Mn2?2a2n2?2a2?2t?t0n?x2ll?Anesin??Mel?)2t?(0而数项级数收敛，闵此，级数(2.21)在？内内闭一致收敛且绝对收敛，所以函e数n?l?内是连续的.u(x?t)在t逐项微分级数(2.21),得级数对n2?2a2??n?a2l2tn?x(2.22)ut??An()esin?Iln?l而对x逐项微分级数(2.21)两次所得级

7、数是n2?2a2(2.23)??t???????uxx???An(n?ln?2)ell2sinn?x?l由于当t?tO时，有？?A?n?b?elsinn?x??M?n?b?elOn????l?l??l?n2?2a2??t02l20?x?l?t?0e其屮收敛，所以级数(2.22)和(2.23)在区域b?a或1.由于数项级数In?l内闭一致收敛且绝对收敛.从而级数(2.21｝是逐项可微的.由(2.22)和(2.23)立即得到ut?a2uxx?0?(x?t)满足定解条件.关于初始条件在定理的假设下其次证明

8、由(2.21)所确定的函数u?n?x?(x)?Ansin?O?x?lln?l是一致且绝对收敛的.根据阿贝尔(Abel)判别法，这个级数的项与单调下降且一致冇界的序?()2t的项的乘积所构成的级数对t是一致收敛的.所以级数(2.21)在区域列O?x?l?t?O上是一致收敛的.u(x?O)??(x)?O?x?l?u(x?t)在区域于是函数？｛O?x?l?O?t?T｝上连续，即满足初始条件x?0和x?l处都是(x?t)在u(x?t)在关于边界条件，由于函数U故函数上连续，t