拉普拉斯变换法在求解非稳态热传导问题中的应用

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1、http://www.paper.edu.cn拉普拉斯变换法在求解非稳态热传导问题中的应用121122许彬，JohnC.Chai，谭俊杰，张敏，刘晶，王莎莎1南京理工大学动力工程学院，南京(210094)2南洋理工大学机械与航天学院，新加坡(639798)E-mail：norkistar@126.com摘要：在结构化网格中，用基元中心有限容积法和全隐时间格式求解非稳态热传导问题，并通过拉普拉斯变化法求解该问题,得到带有误差函数的精确解，将数值解和精确解进行比较，并得到令人满意的结果。关键词：拉普拉斯变换，有限容积法，误差函数拉普拉斯变换法是求解偏微分方程行之有效的方法之一。在

2、应用这个方法时，先利用拉普拉斯变换把对时间变量的偏导数消掉，由此得到的方程求解温度的变换量，再将温度的变换量进行反变换，以找到温度场的分布解。这种方法在原理上是简单易行的，但是，除非变[1-6]换在拉普拉斯变换表中可以查到，一般来说，反变换很困难。本文以非稳态热传导偏微分方程为例，在结构化网格中，采用基元中心有限容积法和全隐时间格式，求解非稳态热传导问题，并将数值计算得到的结果同拉普拉斯变换求得的精确解进行比较，以此展示两种求解方法的精彩之处。1基本概念和方程拉普拉斯变化常用于初始值问题，即已知某个物理量在初始时刻t=0的值f(0)，而求解它在初始时刻之后的变化情况f(t)，

3、至于它在初始时刻之前的值，我们并不感兴趣。不[2]妨置f(t)=0(t<0)，为了获得宽松的变换条件，把f(t)加工为g(t)，−σtg(t)=ef(t)(1.1)−σt这里e是收敛因子，就是说，正的实数σ的值选得如此之大，以保证g(t)在区间(−∞,∞)上绝对可积。于是，可以对g(t)施行傅立叶变换1∞−iωt1∞−(σ+iω)G(ω)=∫g(t)edt=∫f(t)edt(1.2)2π−∞2π0将σ+iω记作s，并将G(ω)改记为f(s)/2π，则∞−stf(s)=∫f(t)edt(1.3)0∞−st其中，积分∫f(t)edt称为拉普拉斯积分，f(s)称为f(t)的拉普拉斯

4、变换函数，式（1.3）0−st代表着从f(t)到f(s)的一种积分变换，称为拉普拉斯变换（简称拉氏变换），e称为拉普拉斯变换的核。拉普拉斯变换，即式(1.3)中的积分存在的条件是（1）在0≤t<∞的任一区间上，除了有限个第一类间断点外，函数f(t)及其导数是处处连续的。(2)存在常数M>0和σ≥0，使得对于任何t值（0≤t<∞），有σtf(t)0时，在x=0的边界表面[1

5、]处具有随时间变化的温度T=f(t)。该问题的数学描述为，2∂∂Txt(,)1Txt(,)=<0,x<∞t>0(2.1a)2∂∂xαtT(x,t)=f(t)x=0,t>0(2.1b)T(x,t)=0x→∞,t>0(2.1c)T(x,t)=0x≥0,t=0(2.1d)对于式(2.1)时间t进行拉普拉斯变换，可以得到，2dTxs(,)s−=Txs(,)00

6、，对g(x,s)求反变换可以得到，x−x2/4αtg(x,t)=e(2.5)32παt最后根据卷积定理可得所需的解，2xtf(τ)⎡−x⎤T(x,t)=∫τ=03/2exp⎢⎥dτ(2.6)4πα(t−τ)⎣4α(t−τ)⎦下面以f(t)的两种特殊情况举例说明如下。2.1f(t)=T0=常数f(t)=T的拉氏变换为f(s)=T/s。将此结果代入式(2.3)得到，00T0−xs/αT(x,s)=e(2.7)s根据拉普拉斯反变换表可得，T(x,t)=T0erfc(x/4αt)(2.8)在对半空间内的非稳态热传导问题进行数值模拟时，初始温度取常数T=10℃，其他参0数都取1，单位为

7、国际单位。为了模拟一维半无限大热传导问题，将上下两个边界设为对称边界，左右两个边界分别给定温度10℃和0℃。计算时采用的尺寸为4×1，网格数为40×5，时间步长取0.2s。-2-http://www.paper.edu.cn图1为三个不同位置随时间变化的温度曲线，图2为三个不同时刻位置变化的温度曲线。从两图中可以看出数值解和精确解吻合的比较好。精确解略高于数值解，这是由于在模拟一维半无限大热传导问题时，一方面用矩形区域近似代替半无限大区域，另一方面精确解中带有误差函数，在进行数值计算（双精度的计算）时，