3-1连续系统数值积分仿真方法学

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1、第三章连续系统数值积分仿真方法学3.1连续系统数值积分法基本原理3.2Runge-Kutta积分法3.4数值积分法稳定性分析3.5数值积分法的选择与计算步长的确定3.6通用仿真程序7/6/20211概述连续系统仿真：借助于计算机，求解数学模型关键问题：如何选择一种算法，将系统模型转化为能在计算机上运行的离散模型两类仿真算法：数值积分法：欧拉法、龙格-库塔法离散相似法：离散状态法、屠斯丁法7/6/20212连续系统的数学模型一、微分方程：常见：单变量、线性定常微分方程。y’’+5y’+6=3x它是根据数学力学原理推导而出二、传

2、递函数G（S）=Y（S）/X（S）三、状态方程中间状态—输入之关系输出方程：中间状态—输出关系7/6/20213连续系统仿真步骤1建立数学模型：微分方程、状态方程、传递函数2建立仿真模型：选择仿真算法，将数学模型转化为仿真模型3编写运行程序：选择某种语言，写出计算机仿真程序，进行运行，获得仿真结果7/6/20214数值积分法系统仿真数值积分法：面向方程的系统仿真、面向结构图的系统仿真。数值积分法：7/6/20215数值积分法的任务：寻求真解在一系列离散点上数值解数值积分法要解决的问题：如何对函数F（t，y）进行数值积法基本方法

3、：单步法、多步法、预估—校正法（精度、速度、稳定性不一样）基本思路：以欧拉法为例进行说明。7/6/20216在若干离散点处，求出若干的y值来代替连续变量y（t），数值积分法就是一种把连续变量离散成离散变量的一种方法。一、欧拉法7/6/202177/6/20218举例由于是近似的，肯定有误差，可减小步长h=tK+1-tK，但步长过小，计算量太大，通过此法提高精度是有限的。7/6/20219二、改进欧拉法（梯形法）用梯形面积代替小区间曲线积分，可以比欧拉法提高精度。7/6/202110一次迭代求近似解先用欧拉法进行预估，再代入梯形

4、公式它是一种多步法，不能自启动，必须用其它方法求以前的多步解。以上只适于一阶微分方程组，高阶要降阶处理。7/6/202111三、数值积分法的几个基本概念1算法自启动只要知道初值，能递推一系列离散解，无需其它算法的辅助（如欧拉）2单步法与多步法采用的递推公式，都是步进的，如果由Yn能求得Yn+1，不需其它信息（单步）如果，为了求Yn+1，需要Yn、Yn-1等信息（多步）7/6/2021123显式与隐式显式：Yn+1递推公式中，用不到Yn+1的数值隐式：Yn+1的递推公式中，用到了Yn+1的数值（需要预估）4截断误差（泰勒展开）欧

5、拉法是一阶精度的，改进的欧拉法是二阶精度的7/6/2021135舍入误差：由于计算机字长引起的误差6初始误差：给定的初始值与真值之间的差异7数值解的稳定性：由于误差的影响，计算步长选择不合适，有可能使数字仿真结果出现不稳定的现象给定步长h，如果计算结果对初始误差或计算误差不敏感，算法是稳定的。不稳定的算法，误差会恶性膨胀，计算结果发散，仿真失败。7/6/2021143.2龙格-库塔法（RUNGE-KUTTA）间接利用泰勒展开式，用几个点上的斜率线性组合代替Y（t）的各阶导数然后用TAYLOR级数展开式确定线性组合中各加权系数既

6、提高了精度，又省去了高阶导数计算7/6/202115一、龙格-库塔数值积分公式将y（t）在t0，y0处用台劳级数展开，保留h2及以前的项。7/6/2021167/6/2021177/6/202118另一套递推公式7/6/202119保留到h4，此时龙格库塔公式7/6/2021207/6/202121龙格-库塔法的特点A单步法可自启动，即知道初值后，直接从微分方程初值开始计算下去。B不同步骤的步长可以不一样，但每一步需同一步长来计算系数。C计算YK+1分两部分：求YK；步长乘各系数的加权平均值7/6/202122D精度取决于h的

7、大小及解决方法当精度相同时，四阶的计算量是二阶的两倍，但步长可以是二阶的10倍。当然，也不是阶数越高越好，高于四阶，计算量猛增，一般也不用。E欧拉公式实质就是一阶龙格-库塔公式总之，四阶，精度高，计算量适中，编程容易，步长易改变，稳定性较好。7/6/202123二、四阶龙格-库塔法的向量形式用于微分方程组（多维）向量形式，n阶系统微分方程：7/6/2021243.4数值积分法稳定性分析情况：系统本来是稳定的，可仿真结果却是发散的原因：积分步长选得不合适造成的稳定性含义：在扰动影响下，其计算过程中的累积误差不会随计算步长的增加而

8、无限增长。一个数值法是否稳定取决于该差分方程的特征根是否满足稳定性要求7/6/202125二、稳定性分析1欧拉法的前差公式：积分步长H必须小于系统时间常数的两倍2后差公式：恒稳定3梯形公式：恒稳定4中心差公式：不存在稳定区域7/6/202126三、数值积分法的选择如何选择，尚