经典的连续系统仿真建模方法学

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1、第二章经典的连续系统仿真建模方法学本章讨论经典的连续系统数字仿真的原理与方法，内容包括连续系统数字仿真的基本概念、经典的数值积分法、经典的线性多步法等。在数字计算机上进行连续系统仿真，首先要将连续模型离散化，因此，2.1节首先讨论离散化原理及要求，这是连续系统仿真的基础。然后，2.2节对经典的数值积分法…■龙格■库塔法及其它典型的数值积分法仿真建模原理进行详细分析，并通过实例说明其应用要点；而2.3节对经典的线性多步法进行了介绍.2.1离散化原理及要求在数字计算机上对连续系统进行仿真时，首先遇到的问题是如何解决数字计算机在数值及时间上的离散性与被仿真系统数值及时间上

2、的连续性这一基本问题。从根本意义上讲，数字计算机所进行的数值计算仅仅是“数字”计算，它表示数值的精度受限于字长，这将引入舍入误差；另一方面，这种计算是按指令一步一步进行的，因而，还必须将时间离散化，这样就只能得到离散时间点上系统性能。用数字仿真的方法对微分方程的数值积分是通过某种数值计算方法来实现的。任何一种计算方法都只能是原积分的一种近似。因此，连续系统仿真，从本质上是对原连续系统从时间、数值两个方面对原系统进行离散化，并选择合适的数值计算方法来近似积分运算，由此得到的离散模型来近似原连续模型。如何保证离散模型的计算结果从原理上确能代表原系统的行为，这是连续系统数

3、字仿真首先必须解决的问题。设系统模型为：y=/（『,％,/），其中巩/）为输入变量，）©）为系统变量；令仿真时间间隔为力，离散化后的输入变量为u（tk）,系统变量为夕仇），其中―表示t=kh.如果瞼‘少（—）=）"）‘即乞（以）=力（儿）一况（。）=0‘ey（tk）=y（tk）-y（tk^o（对所有"0,/,2,・・.），则可认为两模型等价，这称为相似原理（参见图2.1）o图2.1相似原理实际上，要完全保证匕（八）=0,冬（几）=0是很因难的。进一步分析离散化引入的误差，随着计算机技术的发展，由计算机字长引入的舍入误差可以忽略，关键是数值积分算法，也称为仿真建模方法

4、。相似原理用于仿真时，对仿真建模方法有三个基本要求：（1）稳定性：若原连续系统是稳定的，则离散化后得到的仿真模型也应是稳定的。关于稳定性的详细讨论将在2.4节中进行。（2）准确性：有不同的准确性评价准则，最棊本的准则是：绝对误差准则：”（tk）

5、=y（tk）-y（tk）

6、

7、，贝ij,若人二何称为实时仿真，珀<久称为超实时仿真，而大多数情况是丁也,对应于离线仿真。连续系统数字仿真中离散化最基本的算法是数值积分算法。对于形如丿=f）的系统，己知系统变量y的初始条件）心（））=儿，现在要求y随时间变化的过程y（/）o计算过程可以这样考虑（参见图2.2）：首先求出初始点），（心）=儿的/（心，儿），微分方程可以写作：「八tl0U1图2.2数值积分法原理曲）=旳+「广（匚刃力（2.1）图2.2所示曲线下的面积就是歹⑴，由于难以得到f（y,u,t）积分的数值表达式，人们对数值积分方法进行了长期探索，其中欧拉法是最经典的近似方法。欧拉法用矩形面积近

8、似表示积分结果，也就是当/=□时，『（/J的近似值为X：X=Wi）三儿+&•Mo，儿）（2.2）重复上述作法，当t=t2时>2=『02）三X+02—'】）•/（'】'X）所以,对任意时刻如/，有:儿+1=『（_+］）三儿+（匚+1—-）•，K）令tK+l-tK=hK称为第K步的计算步距。若积分过程中步距不变h严h,可以证明，欧拉法的截断误差正比于/『。为进一步提高计算精度，人们提出了“梯形法”。梯形法近似积分形式如式（2.4）所示，令：'k+1—4="k=力己知：J时『（—）的近似值儿'那么：1儿+】=）'（.+】）三儿+㊁加/（6，儿）+/（_+】，儿+1）］24

9、）可见，梯形法是隐函数形式。采用这种积分方法最简单的预报一校正方法是用欧拉法佔计初值，用梯形法校正，即：此“三儿+*［/（・，儿）+/（也，心）］（2.5）(2.6)式(2.6)称作预报公式，采用欧拉法，式(2.5)为校正公式，采用梯形法。用欧拉法估计一次y驚的值，代入校正公式得到儿+】的校正值o设£是规定的足够小正整数，称作允许误差，若匸0,汁1=1称作第一次校正；i=Z+l=2称作第二次校正；通过反复迭代，直到满足

10、乂;】一乂+'这时乂丁是满足误差要求的校正值。上述方法是针对(2.3)式所示的微分方程在己知初值情况下进行求解，因此也称为微分方程初值问题数值计