抽象函数经典综合题33例(含详细解答)

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1、抽象函数经典综合题33例（含详细解答）抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答）1.定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=

2、f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。解（1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0∴f(0)=1（2）令a=x，b=-x则f(0)=f(x)f(-x)∴由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0∴又x=0时，f(0)=1>0∴对任意x∈R，f(x)>0(3)任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0∴∴

3、f(x2)>f(x1)∴f(x)在R上是增函数（4）f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)，f(x)在R上递增∴由f(3x-x2)>f(0)得：3x-x2>0∴0

4、(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1){g(-1)+g(1)}∵f(2)=f(1)≠0∴g(-1)+g(1)=13.已知函数对任意实数恒有且当x＞0，(1)判断的奇偶性；(2)求在区间[－3,3]上的最大值；(3)解关于的不等式解（1）取则取对任意恒成立∴为奇函数.（2）任取，则www.ks5u又为奇函数∴在（－∞，+∞）上是减函数.对任意，恒有而∴在[－3，3]上的最大值为6（3）∵为奇函数，∴整理原式得进一步可得而在（－∞，+∞）上是减函数，当时，当时，当时，当时,当a>2时，4.已知f(

5、x)在(－1，1)上有定义，f()＝－1，且满足x，y∈(－1，1)有f(x)＋f(y)＝f()⑴证明：f(x)在(－1，1)上为奇函数；⑵对数列x1＝，xn＋1＝，求f(xn);⑶求证(Ⅰ)证明：令x＝y＝0，∴2f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0令y＝－x，则f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0∴f(x)＋f(－x)＝0∴f(－x)＝－f(x)∴f(x)为奇函数(Ⅱ)解：f(x1)＝f()＝－1，f(xn＋1)＝f()＝f()＝f(xn)＋f(xn)＝2f(xn)∴＝2即{f(xn)}是以－1为首项，2为

6、公比的等比数列∴f(xn)＝－2n－1(Ⅲ)解：而∴5.已知函数，满足：对任意都有；（1）试证明：为N上的单调增函数；（2），且，求证：；（3）若，对任意,有，证明：.证明：（1）由①知，对任意，都有，由于，从而，所以函数为上的单调增函数.（2）由（1）可知都有f(n+1)>f(n),则有f(n+1)f(n)+1f(n+1)-f(n),f(n)-f(n-1)f(2)-f(1)f(1)-f(0)由此可得f(n)-f(0)nf(n)n+1命题得证（3）（3）由任意,有得由f(0)=1得m=0则f(n+1)=f(n)

7、+1,则f(n)=n+16.已知函数的定义域为，且同时满足：(1)对任意，总有；(2)(3)若且，则有.(I)求的值；(II)求的最大值；(III)设数列的前项和为，且满足.求证：.解：（I）令，由(3),则由对任意，总有（II）任意且，则(III)，即。故即原式成立。7.对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条：①对任意的，总有；②；③若，都有成立，则称函数为理想函数．(1)若函数为理想函数，求的值；(2)判断函数是否为理想函数，并予以证明；(3)若函数为理想函数，假定，使得，且，求证．解：（1）取可得．又由

8、条件①，故．（2）显然在[0，1]满足条件①；-也满足条件②．若，，，则，即满足条件③，故理想函数．（3）由条件③知，任给、[0，1]，当时，由知[0，1]，若，则，前后矛盾；若，则，前后矛盾．故8.已知定义在R上的单调函数,存在实数,使得对于任意实数,总有恒成立。(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若,且对任意正整数,有,,求数列{an}的通项公式；(Ⅲ)若数列{bn}满足，将数列{bn}的项重新组