高级微观经济学数学准备

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1、（一）函数1凹（凸）函数1.1凸集凸集：对于任意两点和，且对于每一个，当且仅当为真时，集合为凸集。凸集要求集合内两点之间的连线必须也在集合内，即该集合不存在任何孔，它的边缘也不能有缩进。例如，平面中，一条线段就是一个凸集，而一个圆圈则不是。1.2凹（凸）函数介绍凸集是为了引入凹（凸）函数：不管是凹函数还是凸函数都要求其定义域是凸集。我们可以先举个例子直观感受下凹（凸）函数的特征，比如函数就是一个凹函数，它在定义域内呈现出峰形；函数就是一个凸函数，它在定义域内呈现谷底。现在具体给出凹（凸）函数的定义：对于函数，其定义域内任意两个不同的点和,当且仅当时，函数f为凹函数。对于函数，其

2、定义域内任意两个不同的点和,当且仅当时，函数f为凸函数。若将不等号“”和“”分别变换成严格不等号“”和“”，上述定义便成了严格凹函数和严格凸函数的定义。因为凹函数的定义域为凸集，因此点也一定在函数的定义域内。我们可以利用凹（凸）函数和严格凹（凸）函数判断函数极值的情况。凹函数一定存在绝对极大值，但绝对极大值可能不是唯一的，因为如果山峰包含一个平顶，则可能存在多重绝对极大值。仅当我们限定它为严格凹形函数时，绝对值才可能是唯一的。1.3凹（凸）函数与凸集的关系首先我们必须区别凸集与凸函数的概念。根据定义，可知当“凸的”在描述集合时，它要求该集合不能出现任何孔，边缘也不能有缩进。这不

3、同于之前的凹（凸）函数：当“凸的”在描述函数时，它确定的是一条曲线或曲面是如何弯曲的。但凹（凸）函数确实与凸集有关。除了定义域都要求是凸集之外，它们都可以引致一个凸集。定理是凹函数是凸集；19是凸函数是凸集。即，由函数上的点以及函数曲线（曲面）之下的点组成的集合若是凸集该函数为凹函数；由函数上的点以及函数曲线（曲面）之上的点组成的集合若是凸集该函数为凸函数。2拟凹（拟凸）函数不管是凹（凸）函数还是严格凹（凸）函数，它们对函数都有比较强的设定。但是通常，理论研究的工作之一是为保证获得结果，识别出我们需要对函数进行的最弱的可行设定。拟凹（拟凸）函数则是一个相对而言更弱的条件。拟凹（

4、拟凸）函数的定义如下：对于函数，其定义域内任意两个不同的点和,当且仅当时，函数f为拟凹函数。对于函数，其定义域内任意两个不同的点和,当且仅当时，函数f为拟凸函数。若将不等号“”和“”分别变换成严格不等号“”和“”，上述定义便适用于严格拟凹函数和严格拟凸函数的定义。我们也可以通过更直观的方法检验函数的拟凹性和拟凸性。设为函数在水平上的上等值集，为函数在水平上的下等值集。定理对于值域内的所有y值，都是凸集是拟凹函数对于值域内的所有y值，都是凸集是拟凸函数经济学中常假设拟凹的效用函数。根据定理，拟凹的效用函数保证了其上等值集为凸集这里有个问题，我的概念有些模糊，二元的效用函数下，介无

5、差异曲线凸向原点也保证其上等值集为凸集，感觉那时上等值集是平面上可以画出来的。但现在这里的上等值集为凸集应该是三维的，两个凸集有关系吗？。3函数间关系（1）是（严格）凹函数是（严格）凸函数；（2）是（严格）拟凹函数是（严格）拟凸函数；（3）是（严格）凹函数是（严格）拟凹函数（反之不成立）；（4）是（严格）凸函数是（严格）拟凸函数（反之不成立）；（5）单调函数既是拟凹函数也是拟凸函数（6）凹（凸）函数相加仍为凹（凸）函数，拟凹和拟凸函数则没有类似关系。19（二）无约束的最优化问题1一元函数的无约束极值本讲义将讨论的函数范围限定在二次连续可微函数的范围里。给定一个二次连续可微的一元

6、函数,。易知，它在处取得极值的一阶必要条件为：。而该极值究竟是极大值还是极小值得看的符号：若，则为唯一的绝对极大值；若，则为唯一的绝对极小值。利用上述极值的导数条件，我们可以推导出极值的微分条件，即：极值的一阶必要条件：对于任意非零，函数的一阶全微分为零；对于任意非零，我们也可以通过计算函数的二阶全微分来判断极值的情况。综上，当函数为二次连续可微时，它取得极值的必要条件为：（1）函数在取得绝对极大值，对于任意非零都成立；（2）函数在取得绝对极小值，对于任意非零都成立。在满足必要条件的前提下，函数取得唯一的绝对极值时充分条件为，对于任意非零都成立函数在取得唯一绝对极大值；，对于任

7、意非零都成立函数在取得唯一绝对极小值。只要将改为一阶微分向量，以上极值的微分条件能直接从单变量的情况推广至两个甚至多个变量的情况。2多元函数的最优化问题2.1一阶条件稳态值稳态值是指选择变量的最优解还是指函数的最优解?产生疑问是因为蒋中一那本书里提到的是稳定值的概念，用的是后一种表述。前一种表述是高微笔记上记的。：上的函数的稳态值，在该点处，下面几个等式同时成立：定理如果在点最优解能不能这么表示？在Reny的附录里有表达式，我们可能得到局部最大（小）值，即对于一个尽可能小的邻域内，所有点都有