动力学普遍定理的综合应用

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1、动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法，但在求解比较复杂的动力学问题时，往往不可能仅用一个定理解决全部问题,需要综合应用几个定理来求解。动量定理和动量矩定理是矢量形式，应用时常取投影式，并只需考虑质点系所受的外力作用。质心运动定理常用于分析质点系受力与质心运动的关系。动能定理是标量形式，在许多实际问题中约束反力又不作功，因而应用动能定理分析系统的速度和加速度较为方便。动力学普遍定理的综合应用一般性原则：(1)求解速度、角速度问题往往首先考虑应用动能定理的积分形式,且尽可能以整个系统为研究对象,避

2、免拆开系统；(2)应用动能定理的积分形式,如果末位置的速度或角速度是任意位置的函数,则可求时间导数来得到加速度或角加速度。仅求加速度(角加速度)的问题,应用动能定理的微分形式也很方便；(3)对于既要求运动又要求约束力的问题,因为应用动能定理不能求出无功约束力，此时往往先求运动,然后再应用质心运动定理或动量矩定理来求约束力；(4)当系统由作平动、定轴转动、平面运动的刚体组合而成时,一种比较直观的求解办法就是将系统拆开成单个刚体,分别列出相应的动力学微分方程,然后联立求解；(5)注意动量、动量矩守恒问题，

3、特别是仅在某一方向上的守恒。P325页，11.11题，求角加速度？解:（1）应用动能定理的积分形式，当为任意夹角时：由式中θ为变量，两边对时间求导数：当θ=0时:例1.图示机构中，已知：作纯滚动的匀质轮A质量为m1、半径为R，,物B质量为m2，滑轮C、绳子的质量及轴承处的摩擦不计，与轮A相连绳段与水平面平行。试求：（1）重物B下降为s时圆盘质心的速度和加速度；（2）绳子的拉力和地面作用于轮A的摩擦力。解：应用动能定理的积分形式，设B下降为变量l：由式中l为变量，当l=s时：式中l为变量，两边对时间求导

4、数：例2.图示机构中，已知：斜面光滑，滑块A和纯滚动圆盘B质量均为m、圆盘半径为R，弹簧弹性系数为k,滑块A沿斜面下滑,初始时弹簧为原长,求滑块A下滑s长时:(1)滑块A的加速度；(2)绳子的拉力；(3)地面作用于圆盘B的摩擦力。AOCBka解:（1）应用动能定理的积分形式，设弹簧伸长为任意长度l时：由式中l为变量，两边对时间求导数：则当l=s时，（2）求绳子的拉力，研究滑块A。AaT（3）求地面的摩擦力F，研究圆盘B。CBkT’F由质心运动定理：AOCBkaAaTCBkT’Fa解二:应用平面运动微分

5、方程αAOCBkaFIAFIBMICFIA=m2aFIB=m1aMIC=m1ar/2解三：应用动静法求解：例4.均质杆OA=l可在水平面上绕O自由转动,并驱动杆前的小球C,杆与小球的质量相同。若初始时刻C靠近O,杆以某一角速度旋转。不计摩擦,试求C脱离A端时,其绝对速度与杆的夹角。OACz解:杆和小球所组成的系统在运动过程中对Oz轴的动量矩守恒、能量守恒。设初始时刻杆的角速度为ω1,小球离开A端瞬间杆的角速度为ω2,杆和小球的质量均为m。在初始时刻小球的速度为零,故以小球为动点,杆为动系,则小球的绝对

6、速度v=vr+ve速度合成图(离开A端时)如下图所示。ve=lω2vrv○○OAveω2v2=ve2+vr2Lz1=Lz2T1=T2由此即可解出ω1=4ω2vr=2lω2v○○OAvrveω2θve=lω2θ=26.565°