3、“(00=>«=b(modd):(viii)若“三々(modm,),(Z=l，2,…，n),贝ija三Z^modl^nj，/^，…，讲"］);(ix)«=/?(modm)(a，m)=(/?,m);(x)ac=/?c(modZ7t),(c,=a=Z?(modm).下iM简单介绍一下，以上同余性质的一些应用。［例1］求(25733+46)26被50除的余数。解：
4、宥性质(v)得，(25733+46)26=(733-4)26=［7(72广-4］26三［7(-1),6_4］26=(7-4)26=326=3(35)5=3(-7)5=-3x7.(72)2=-21x(-l)2=-21=29(mod50)即所求的余数是29。［例2］求n=777的个位数。解：因为7丨=—3,7*"=—1,74三1(mod10)因此苦77=r(mod4)则n=77?=7r(modl0)⑴现在77=(-1)7=-1=3(mod4)所以由式(1)得到n-77=73=(-3)5=-7=3(mod10),即A2的个位数是3。［例3
5、］证明：若/!是正整数,则13
6、42w+i+3w+2。证明：因为42"+
7、+3,,+2=4*42'1+9*3”=4*16"+9*3”再有忡质(vi)得，4>16z,+9>3W=4>3?,+9<3Z,=13<3W=0(modl3)得证。［例4］已知991626^427,求汉和/?。解：因为99=9X11所以9
8、62妙427，(2)11
9、626^427,(3)，(2)式得：9
10、6+2+«+^+4+2+7=21+^+^<=>9
11、3+a+A(4)有(3)得：11
12、6—2+6Z—y0+4—2+7=13+汉+y5<=>11
13、2+6Z-/?(5)
14、由于0S6Z,/?幺9,所以由式(4)与(5)得!li汉+0=15或6，汉-0=9或-2,可得叫个方程组--Inpop+-a+J3=6+J3=6a+fi=15a-p=9[a-/3=-2oc-p=9解得以=2,0=4。2.2剩余类、完全剩余系和简化剩余系［定义2］给定正整数〃/,对于每个整数7，0€/€仍-1,称集合Ri（m）=｛n=i（modm）,nEZ｝是模的一个剩余类。［定义3］设///是正整数，从模///的每一个剩余类中任取一个整数x,.（OS/Sm_l），称巢合X,｝是模的一个完全剩余系（或简称为完全系）。由于的选取
15、是任意的，所以模/〃的完全剩余系有无穷多个，通常称：i.｛0，1，2,…，m-1撮模m的最小非负完全剩余系；ii.｛-f+1，…，-1，0，1，…，f｝（当是偶数时）或｛-$，…，-1，0，1，…，f｝（当州是奇数时）是模的绝对最小的完全剩余系。［定理3］整数集合A是模/〃的完全剩余系的充要条件是：i.A屮含有仍个整数；ii.A中任M两个整数对模〃/不同金。［定理4］设是整数（rt，m）=l，｛xpx2,…，x〃J是模m的一个完全剩余系，则{a{x{+b,ci2x2+b”..ci”xnl+/?}也是模m的一个完全剩余系。［定理5］V
16、xm,,m2eN,Aem)=1,X={々，义2•••%,,}，F={y,，％...yj分别是模叫和模爪2的完全剩余系，则+X,ye是模mpm2的一个完全剩余系。［推论1］若m、，m2gN，(m'，m2)=1，则当七和七分别通过模叫和模
