例析导数的几何意义的应用

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1、例析导数的几何意义的应用导数的几何意义是导数及其应用教学的一个重要内容，其内涵丰富、应用广泛，并且已经成为新课改以来高考和各地模拟试题中的热点考查内容之一。下面举例说明导数的几何意义的应用。　　我们先来回顾一下导数的几何意义：导数f'（x0）的几何意义就是曲线y＝f（x）在点［x0，f（x0）］处的切线的斜率。　　一一个切点，双重身份　　例1，函数y＝f（x）的图像在P处的切线方程是y＝－x＋8，求f（5）及f'（5）。〔苏教版选修1－1习题3.1第2题〕　　分析：本题把握切点的双重身份——在曲线上，也在直线上。而直线上点的横坐标已知，即可求出纵坐标f（5）。再者，由导数的几何意义可知，f

2、'（5）即为曲线上点［5，f（5）］处的切线的斜率。　　解：f（5）＝－5＋8＝3，f'（5）＝1。　　二一字之差，两种题型　　应用导数的几何意义求曲线的切线方程也是导数的重要应用之一，这里要注意的是——“在某点的切线”≠“过某点的切线”。在某点处的切线，切线的切点就是这一点，过某点的切线切点不一定是这个点，也可能是别的点，但是切线是经过这一点的。　　下面来看两个具体的例子：　　例2，（1）求曲线y＝3x－x3上在点A（2，－2）的切线方程。　　（2）求曲线y＝3x－x3上过点A（2，－2）的切线方程。　　分析：第（1）小问较为简单，是求在点A（2，－2）的切线方程，则这点就是切点，直接由

3、导数求出在该点处的切线的斜率就可以了。　　第（2）问，是求过点A（2，－2）的切线方程，所以该点未必是切点，这种情况下，一般都是设出切点坐标，用切点表示出切线方程，再将已知点代入，从而求出切点坐标，最后由切点写出切线方程。　　解：（1）Q函数的导数是y'＝3－3x2，y'

4、x＝2＝－9。　　∴所求切线方程为y＋2＝－9（x－2），即9x＋y－16＝0。　　（2）设切点（x0，y0）　　Q函数的导数是y'＝3－3x2，y'

5、x＝x0＝3－3x0。　　∴所求切线方程为y－（3x0－x03）＝（3－3x02）（x－x0），又该切线过点A（2，－2），则－2－（3x0－x03）＝（3－3x02）（

6、2－x0）。　　解得x0＝2或－1。　　则所求切线方程为9x＋y－16＝0或y＋2＝0。　　三一条切线，两条曲线　　例3，已知抛物线C1∶y＝x2＋2x和C2∶y＝－x2＋a，如果直线l同时是C1和C2的切线，则称l是C1和C2的公切线，　　公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。　　（1）a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程。　　（2）若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分。　　分析：第（1）问，应先求出两个函数的导函数，再根据切点研究切线方程和公切线方程。　　第（2）问，只需证明两条公切线段有相同的中点。　　解：（1）函数y＝x2＋2x的导

7、数是y'＝2x＋2，设曲线C1上的切点为P（x1，x12＋2x1），则切线方程为y－（x12＋2x1）＝（2x1＋2）（x－x1）。　　即y＝（2x1＋2）x－x12。　　函数y＝－x2＋a的导数y'＝－2x，设曲线C2上的切点Q（x2，－x22＋a）的切线方程是y－（－x22＋a）＝2x2（x－x2）。　　即y＝－2x2x＋x22＋a。　　如果直线l是C1和C2的公切线，则。　　消去x2得方程：2x12＋2x1＋1＋a＝0。　　当判别式Δ＝4－4×2×（1＋a）＝0时，即时，　　解得，此时点P与Q重合。　　即当时，C1和C2有且仅有一条公切线，而且所　　得公切线方程为。　　（2）证明：由

8、（1）可知，当时，C1和C2有两　　条公切线。　　设一条公切线上切点为P（x1，y1），Q（x2，y2），其中P在C1上，Q在C2上，则有：　　x1＋x2＝－1　　y1＋y2＝x12＋2x1＋（－x22＋a）　　＝x12＋2x1－（x1＋1）2＋a　　＝－1＋a　　线段PQ的中点是（，）。　　同理，另一条公切线段P'Q'的中点也是（，）。　　所以，公切线段PQ和P'Q'互相平分。　　点评：本题把导数与二次曲线位置关系融为一体，重在考查用导数的几何意义分析问题、解决问题的能力。有关曲线切线的问题，一般都可用导数的几何意义完成，曲线在某一定点处的切线是唯一的，因此斜率也是唯一的（若存在的话），

9、采用斜率相等这一重要关系，往往都可解决这类问题。　　〔责任编辑：王以富〕