椭圆的定义及几何性质

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1、椭圆【教学目标】（1）掌握椭圆的定义（2）掌握椭圆的几何性质（3）掌握求椭圆的标准方程【教学重难点】（1）椭圆的离心率有关的问题（2）椭圆焦点三角形面积的求法【教学过程】一、知识点梳理知识点一：椭圆的定义　　平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。　　注意：若，则动点的轨迹为线段；　　　　　若，则动点的轨迹无图形。知识点二：椭圆的标准方程　　1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；　　2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：　　1

2、．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；　　2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；　　3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。知识点三：椭圆的简单几何性质　　椭圆的的简单几何性质（1）对称性　　对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。讲练结合：（2）范围　　椭圆上所有的点

3、都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足

4、x

5、≤a，

6、y

7、≤b。（3）顶点　　①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。　　②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0），　　　A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。　　③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，

8、A1A2

9、=2a，

10、B1B2

11、=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率　　①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。　　②因为a＞c＞0，所以e的

12、取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：　　　　　　　　（1），，；　　（2），，；　（3）,，；知识点四：椭圆与（a＞b＞0）的区别和联系标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点，，轴长轴长=，短轴长=离心率准线方程焦半径，，注意：椭圆，（a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相

13、同，参数间的关系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。二、考点分析考点一：椭圆的定义【例1】方程化简的结果是。【例2】已知F1(-8，0)，F2(8，0)，动点P满足

14、PF1

15、+

16、PF2

17、=16，则点P的轨迹为（）A圆B椭圆C线段D直线【变式训练】已知椭圆=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为。考点二：求椭圆的标准方程【例3】若椭圆经过点(5，1)，(3，2)则该椭圆的标准方程为。【例4】的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹．

18、【例5】求以椭圆的焦点为焦点，且经过点的椭圆的标准方程．【变式训练】1、焦点在坐标轴上，且，的椭圆的标准方程为。2、焦点在轴上，，椭圆的标准方程为。3、已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0），求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；4、已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．考点三：利用标准方程确定参数【例6】若方程+=1（1）表示圆，则实数k的取值是.（2）表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是.（3）表示焦点在y型上的椭圆，则实数k

19、的取值范围是.（4）表示椭圆，则实数k的取值范围是.【例7】椭圆的长轴长等于，短轴长等于,顶点坐标是,焦点的坐标是,焦距是，离心率等于。【变式训练】1、椭圆的焦距为，则=。2、椭圆的一个焦点是，那么。考点四：离心率的有关问题一、求离心率1、用定义（求出a,c或找到c/a）求离心率（1）已知椭圆:的两个焦点分别为,且椭圆经过点.则椭圆的离心率。（2）设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（）（3）椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2。若

20、AF1

21、，

22、F1F2

23、，

24、

25、F1B

26、成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________.（4）在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线距离为1，则该椭圆的离心率为。2、根据题设条件构造a、c的齐次式方程，解出e。（1）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆