椭圆的定义与几何性质

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1、椭圆【教学目标】(1)掌握椭圆的定义(2)掌握椭圆的几何性质(3)掌握求椭圆的标准方程【教学重难点】(1)椭圆的离心率有关的问题(2)椭圆焦点三角形面积的求法【教学过程】一、知识点梳理知识点一:椭圆的定义  平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数(),这个动点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距。  注意:若,则动点的轨迹为线段;     若,则动点的轨迹无图形。知识点二:椭圆的标准方程  1.当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:,其中;  2.当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:,其中;注意

2、:  1.只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程;  2.在椭圆的两种标准方程中,都有和;  3.椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,;当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,。知识点三:椭圆的简单几何性质  椭圆的的简单几何性质(1)对称性  对于椭圆标准方程,把x换成―x,或把y换成―y,或把x、y同时换成―x、―y,方程都不变,所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形,且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。讲练结合:(2)范围 

3、 椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足

4、x

5、≤a,

6、y

7、≤b。(3)顶点  ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。  ②椭圆(a>b>0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为A1(―a,0),   A2(a,0),B1(0,―b),B2(0,b)。  ③线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴,

8、A1A2

9、=2a,

10、B1B2

11、=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。(4)离心率  ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用e表示,记作。  ②

12、因为a>c>0,所以e的取值范围是0<e<1。e越接近1,则c就越接近a,从而越小,因此椭圆越扁;反之,e越接近于0,c就越接近0,从而b越接近于a,这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时,c=0,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为x2+y2=a2椭圆的图像中线段的几何特征(如下图):        (1),,;  (2),,; (3),,;知识点四:椭圆与(a>b>0)的区别和联系标准方程图形性质焦点,,焦距范围,,对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点,,轴长轴长=,短轴长=离心率准线方程焦半径,,注意:椭圆,(a>

13、b>0)的相同点为形状、大小都相同,参数间的关系都有a>b>0和,a2=b2+c2;不同点为两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不相同。二、考点分析考点一:椭圆的定义【例1】方程化简的结果是。【例2】已知F1(-8,0),F2(8,0),动点P满足

14、PF1

15、+

16、PF2

17、=16,则点P的轨迹为()A圆B椭圆C线段D直线【变式训练】已知椭圆=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为。考点二:求椭圆的标准方程【例3】若椭圆经过点(5,1),(3,2)则该椭圆的标准方程为。【例4】的底边,和两边上中线长之和为

18、30,求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹.【例5】求以椭圆的焦点为焦点,且经过点的椭圆的标准方程.【变式训练】1、焦点在坐标轴上,且,的椭圆的标准方程为。2、焦点在轴上,,椭圆的标准方程为。3、已知三点P(5,2)、(-6,0)、(6,0),求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程;4、已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点到两焦点的距离分别为和,过点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程.考点三:利用标准方程确定参数【例6】若方程+=1(1)表示圆,则实数k的取值是.(2)表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取

19、值范围是.(3)表示焦点在y型上的椭圆,则实数k的取值范围是.(4)表示椭圆,则实数k的取值范围是.【例7】椭圆的长轴长等于,短轴长等于,顶点坐标是,焦点的坐标是,焦距是,离心率等于。【变式训练】1、椭圆的焦距为,则=。2、椭圆的一个焦点是,那么。考点四:离心率的有关问题一、求离心率1、用定义(求出a,c或找到c/a)求离心率(1)已知椭圆:的两个焦点分别为,且椭圆经过点.则椭圆的离心率。(2)设是椭圆的左、右焦点,为直线上一点,是底角为的等腰三角形,则的离心率为()(3)椭圆(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左

20、、右焦点分别是F1,F2。若

21、AF1

22、,

23、F1F2

24、,

25、F1B

26、成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________.(4)在给定的椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为,焦点到相应准线距离为1,则该椭圆的离心率为。2、根据题设条件构造a、c的齐次式方程,解出e。(1)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆

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